角动量守恒定律与刚体转动ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本章题头,L,w,I,w,与刚体的,与刚体的,定轴转动,定轴转动,角动量守恒定律,角动量守恒定律,第四章,rigid body rotation with a fixed axis,law of conservation of angular momentum,chapter 4,本章题头LwIw与刚体的与刚体的定轴转动定轴转动角动量守恒定,1,内容提要,本章内容,Contents,chapter 4,刚体的定轴转动,rotation of rigid-body with a fixed axis,刚体作定轴转动时的功能关系,relation of work with energy in rotation of rigid-body,角动量与角动量守恒,angular momentum and,law of conservation of angular momentum,刚体的角动量守恒,law of conservation of angular momentum of rigid-body,内容提要本章内容Contentschapter 4刚体的定,2,第一节,角动量与角动量守恒定律,角动量与角动量守恒定律,4 - 1,s,s,s,s,angular momentum and,law of conservation of angular momentum,一、角动量,angular momentum,r,q,O,m,v,速度,位矢,质量,角,夹,r,v,大量天文观测表明,r,q,m,v,sin,常量,大小：,L,r,q,m,v,sin,方向：,r,m,v,(,),r,v,L,q,定义：,r,p,L,r,m,v,运动质点,m,O,对,点的,角动量,为,角动量与角动量守恒定律,角动量与角动量守恒定律,Angular momentum and,law of conservation of angular momentum,第一节角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律4 - 1,3,问题的提出,二、质点的角动量定理及其守恒定律,theorem of partical angular momentum and its conservation,地球上的单摆,O,m,q,v,r,L,m,v,r,大小会变,L,变,太阳系中的行星,O,r,v,m,q,sin,q,L,m,v,r,大小,未必,会变。靠什么判断？,L,变,变,变,L,v,r,m,sin,大小,L,m,v,r,q,质点 对,的角动量,m,O,问题的提出,问题的提出二、质点的角动量定理及其守恒定律theorem o,4,质点角动量定理,导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？,L,d,d,t,L,思路：,分析,与什么有关？,+,(,),由,L,v,r,m,则,d,d,t,L,d,d,t,r,v,m,d,d,t,r,v,m,r,d,d,t,(,v,m,),0,v,m,v,(,两平行矢量的叉乘积为零,),m,d,v,d,t,m,a,F,得,d,d,t,L,r,F,角动量的时间变化率,质点 对参考点 的,m,O,位置矢量,d,d,t,L,r,所受的合外力,F,等于,叉乘,质点的角动量定理,质点角动量定理导致角动量 随时间变化的根本原因是什么？,5,微分形式,d,d,t,L,r,F,是,力矩,的矢量表达：,r,F,而,O,r,F,m,d,即,力矩,r,F,M,大小,M,F,r,sin,方向,垂直于,r,F,所决定,的平面，由右螺旋法则定指向。,F,d,q,q,得,质点 对给定参考点 的,m,O,d,d,t,L,r,F,M,角动量的时间变化率,所受的合外力矩,称为质点的,角动量定理,的微分形式,如果各分力与,O,点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。,微分形式ddtLrF是力矩的矢量表达：rF而OrFmd即力矩,6,积分形式,质点的角动量定理也可用积分形式表达,d,d,t,L,M,由,d,L,M,d,t,0,t,t,d,L,M,d,t,L,0,L,L,L,0,称为,冲量矩,角动量的增量,这就是质点的,角动量定理,的积分形式,例如,，,单摆的角动量大小为,L,=,mv r,v,为变量。,在,t,=,0,时从水平位置静止释放，初角动量大小为,L,0,=,m v,0,r,=,0,； 时刻,t,下摆至铅垂位置，,角动量大小为,L,=,m v,r,。,则此过程单摆所受的冲量矩大小等于,L,-,L,0,=,m v,r,=,m r 2gr,。,积分形式质点的角动量定理也可用积分形式表达ddtLM由,dL,7,归纳,归纳,质点的,角动量定理,d,d,t,L,r,F,M,角动量的时间变化率,所受的合外力矩,0,t,t,d,L,M,d,t,L,0,L,L,L,0,冲量矩,角动量的增量,微分形式,积分形式,特例：,当,M,0,时，,有,L,L,0,0,即,L,L,0,物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零,（如有心力作用）时，质点的角动量,前后不改变。,（后面再以定律的形式表述这一重要结论）,归纳归纳质点的 角动量定理ddtLrFM角动量的时间变化率,8,质点角动量守恒,质点的角动量守恒定律,d,d,t,L,M,根据质点的,角动量定理,r,F,M,(,),若,M,r,F,0,则,d,d,t,L,0,即,L,常矢量,当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩,O,m,M,为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 为,d,d,t,L,L,零，即质点对该点的角动量 守恒。,质点的角动量守恒定律,质点的角动量守恒定律,称为,若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。,质点角动量守恒质点的角动量守恒定律ddtLM根据质点的 角,9,开普勒第二定律,应用质点的角动量守恒定律可以证明,开普勒第二定律,行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积,开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律,10,定律证明,证：,时刻,m,对,O,的角动量大小为,t,L,r,v,m,d,d,t,r,r,m,sin,q,r,m,d,d,t,s,m,d,d,t,s,h,2,m,A,d,d,t,即,L,A,d,d,t,2,m,因行星受的合外力总指向是太阳，角动量 守恒。,h,m,s,d,O,r,d,r,+,d,t,t,(,),t,),(,r,+,d,r,q,A,d,2,1,A,d,d,r,h,2,1,s,d,h,d,t,瞬间,位矢扫过的微面积,L,则,L,A,d,d,t,2,m,常量,（称为掠面速率）,故，,位矢在相同时间内扫过的面积相等,定律证明证： 时刻 m 对 O 的角动量大小为tL,11,质点系角动量,三、质点系的角动量定理,theorem of angular momentum of partical system,质点系的角动量,质点系的角动量,L,S,i,L,i,r,S,i,i,m,i,v,i,各质点对给定参考点的,角动量的矢量和,惯性系中某给定参考点,m,1,2,m,3,m,r,1,3,r,2,r,3,v,2,v,v,1,O,质点系角动量三、质点系的角动量定理theorem of an,12,质点系角动量定理,质点系的角动量定理,L,S,i,L,i,S,i,r,i,m,i,v,i,将,对时间求导,d,d,t,L,(,S,i,L,i,S,i,d,d,t,r,i,m,i,v,i,d,d,t,+,r,i,m,i,v,i,d,d,t,(,S,i,0,+,F,i,S,i,v,i,m,i,v,i,+,m,i,i,a,r,i,r,i,内力矩,在求矢量和时成对相消,O,m,1,2,m,F,1,F,1,内,F,2,内,外,F,2,外,r,1,2,r,d,某给定参考点,S,i,+,i,F,内,外,F,i,外,r,i,r,i,S,i,M,i,内,+,S,i,M,i,S,i,M,i,外,得,d,d,t,L,S,i,M,i,外,M,质点系的角动量,的时间变化率,质点受外力矩的矢量和,质点系的角动量定理,称为,微分形式,质点系角动量定理质点系的角动量定理LSiLiSirimivi,13,微、积分形式,质点系的角动量定理,L,S,i,L,i,S,i,r,i,m,i,v,i,将,对时间求导,d,d,t,L,(,S,i,L,i,S,i,d,d,t,r,i,m,i,v,i,d,d,t,+,r,i,m,i,v,i,d,d,t,(,S,i,0,+,F,i,S,i,v,i,m,i,v,i,+,m,i,i,a,r,i,r,i,内力矩,在求矢量和时成对相消,O,m,1,2,m,F,1,F,1,内,F,2,内,外,F,2,外,r,1,2,r,d,某给定参考点,S,i,+,i,F,内,外,F,i,外,r,i,r,i,S,i,M,i,内,+,S,i,M,i,S,i,M,i,外,得,d,d,t,L,S,i,M,i,外,M,质点系的角动量,的时间变化率,质点受外力矩的矢量和,质点系的角动量定理,称为,微分形式,d,d,t,L,S,i,M,i,外,M,质点系的角动量,的时间变化率,质点受外力矩的矢量和,质点系的角动量定理,的微分形式,质点系所受的,0,t,d,t,M,t,d,L,L,L,0,L,L,0,质点系的,冲量矩,角动量增量,质点系的角动量定理,的积分形式,若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。,微、积分形式质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对,14,质点系角动量守恒,质点系的角动量守恒定律,0,t,d,t,M,t,d,L,L,L,0,L,L,0,d,d,t,L,S,i,M,i,外,M,由,若,M,0,则,L,L,0,或,L,恒矢量,当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。,质点系角动量守恒质点系的角动量守恒定律0tdtMtdLLL0,15,随堂小议,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,（请点击你要选择的项目）,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,随堂小议结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上,16,小议链接1,（请点击你要选择的项目）,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接1（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动,17,小议链接2,（请点击你要选择的项目）,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接2（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动,18,小议链接3,（请点击你要选择的项目）,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接3（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动,19,小议链接4,（请点击你要选择的项目）,两人质量相等,O,一人握绳不动,一人用力上爬,随堂小议,可能出现的情况是,终点线,终点线,滑轮质量,既忽略,轮绳摩擦,又忽略,结束选择,（1）,（2）,（3）,（4）,两人同时到达；,用力上爬者先到；,握绳不动者先到；,以上结果都不对。,小议链接4（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动,20,小议分析,O,m,1,2,m,v,1,2,v,R,同高从静态开始往上爬,忽略轮、绳质量及轴摩擦,质点系,m,1,2,m,若,m,1,2,m,系统受合外力矩为零，,角动量守恒,。,系统的初态角动量,系统的末态角动量,m,1,v,1,R,2,m,2,v,R,0,得,2,v,v,1,不论体力强弱，两人等速上升。,若,m,1,2,m,系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。,可应用,质点系角动量定理,进行具体分析讨论。,小议分析Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质,21,第二节,刚体运动的分类,rotation of rigid-body with a fixed axis,刚体的定轴转动,刚体的定轴转动,4 - 2,s,s,s,s,刚体,：,形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）,平 动,刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的,相同，可当作质点处理。,r,r,v,a,定轴转动,刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。,平面运动,刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心,定点运动,刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。,一般运动,复杂的运动与平动的混合。,rotation of rigid body with a fixed axis,刚体的定轴转动,刚体的定轴转动,第二节刚体运动的分类rotation of rigid-bo,22,定轴转动参量,刚体,转轴,1,. 角位置,q,转动平面,（包含,p,并与转轴垂直）,(,t,),p,p,(,t,+,t,),q,r,q,r,q,q,r,p,参考方向,X,p,p,刚体中任一点,p,刚体定轴转动的运动方程,q,q,(,),t,2,. 角位移,q,r,r,t,0,r,q,d,q,3,. 角速度,w,w,t,d,q,w,d,w,0,w,常量,静止,匀角速,(,),t,w,w,变角速,4,. 角加速度,b,t,d,d,w,b,变角加速,b,(,),t,b,常量,b,匀角加速,b,0,匀角速,w,d,q,转,动,方,向,用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则,w,d,q,描述刚体定轴转动的物理量,描述刚体定轴转动的物理量,定轴转动参量刚体转轴1. 角位置q转动平面（包含p并与转轴,23,转动方程求导例题,单位：,q,r,q,d,q,rad,w,-,1,rad,s,b,-,2,rad,s,例,已知,求,(,),t,q,p,+,0,5,t,2,1,p,+,p,t,2,w,(,),t,b,(,),t,rad,),(,50,p,51,p,52,p,53,p,w,1,rad,s,0,2,1,3,t,s,q,rad,100,p,150,p,0,3,s,t,50,p,p,1,2,b,2,rad,s,0,2,1,3,t,s,p,解法提要,t,d,q,w,d,0,5,p,+,p,t,w,(,),t,t,d,d,w,b,-,1,rad,s,(,),b,(,),t,p,-,2,rad,s,(,),匀 变 角 速 定 轴 转 动,转动方程求导例题单位：qrqdqrad,w-1rads,b-,24,积分求转动方程,例,已知,求,w,(,),t,(,),t,q,任意时刻的,b,(,),t,k,k,0,恒量,且,t,=,0,时,w,0,w,q,0,q,(,),t,t,d,d,w,b,t,d,d,w,b,w,w,b,w,0,d,w,0,t,t,d,k,0,t,t,d,得,解法,提要,t,+,w,0,k,d,q,w,t,d,d,q,w,t,d,),(,t,+,w,0,k,t,d,0,t,d,q,q,q,0,),(,t,+,w,0,k,t,d,得,q,r,q,q,0,t,+,w,0,k,t,2,1,2,或,(,),t,q,q,0,+,t,+,w,0,k,t,2,1,2,匀变角速定轴转动的角位移方程,匀变角速定轴转动的运动方程,积分求转动方程例已知求w()t()tq任意时刻的b()tkk,25,线量与角量的关系,例,b,w,定轴转动刚体在某时刻,t,的瞬时角速度为 ，瞬时角加速度为 ，,已知,求,刚体中一质点,P,至转轴的距离为,r,质点,P,的大小,r,P,P,r,O,O,w,瞬时线速度,v,瞬时切向加速度,a,t,n,a,瞬时法向加速度,(,),b,a,t,d,t,d,v,d,t,d,r,w,r,v,d,s,t,d,q,d,r,t,d,w,r,n,a,v,r,2,(,w,r,),2,r,r,w,2,这是定轴转动中,线量,与,角量,的基本关系,q,d,q,d,d,s,d,s,解法提要,d,s,q,d,r,线量与角量的关系例bw定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为,26,公式对比,质点,直线,运动或刚体平动,刚 体 的,定 轴,转 动,速度,角速度,加速度,角加速度,位移,角位移,v,r,x,1,t,2,x,(,),t,x,(,),r,1,t,2,(,),t,(,),q,q,q,w,d,d,t,w,d,d,t,q,a,b,d,d,t,v,d,d,t,匀速直线运动,s,s,v,t,匀角速定轴转动,q,w,t,匀变速直线运动,匀变角速定轴转动,s,0,2,1,+,v,t,2,a,t,q,w,0,+,t,2,1,b,2,t,2,v,v,0,2,2,a,s,w,2,w,0,2,2,b,q,v,v,0,+,a,t,w,w,0,+,b,t,公式对比质点直线运动或刚体平动刚 体 的 定 轴,27,刚体转动定律引言,刚体的转动定律,刚体的转动定律,质 点,的运动定律,或,刚体平动,F,=,m,a,惯性质量,合 外 力,合加速度,若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？,主要概念,使刚体产生转动效果的,合外力矩,刚体的,转动定律,刚体的,转动惯量,刚体转动定律引言刚体的转动定律刚体的转动定律质 点的运动定律,28,合外力矩,外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动,M,=,r,F,1,1,1,力矩,切向,1,F,t,F,r,M,叉乘右螺旋,1,M,2,M,M,=,r,F,2,2,2,M,=,r,F,sin,j,2,2,2,大小,2,r,2,=,2,F,t,d,2,=,2,F,1,M,2,M,合外力矩,=,M,+,d,2,2,F,大小,M,=,d,1,1,F,=,r,2,2,F,t,r,1,1,F,t,r,1,=,1,F,t,M,=,r,F,sin,j,1,1,1,大小,1,d,1,=,1,F,j,1,d,1,r,1,F,1,P,1,O,F,2,r,2,2,F,t,P,2,j,2,d,2,切向,一、外力矩与合外力矩,方向,合外力矩 外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M,29,转动定律,某质元,r,m,i,r,m,i,f,i,受内力,受外力,F,i,F,i,+,f,=,r,m,i,r,m,i,a,i,i,其法向,n,分量均通过转轴，,不产生转动力矩。,t,其切向,投影式为,i,j,F,i,sin,+,i,f,sin,q,i,t,=,r,m,i,r,m,i,a,i,=,r,m,i,r,m,i,r,i,b,t,n,r,m,i,r,m,i,F,i,O,r,i,f,i,i,j,q,i,瞬时,角速度,w,角加速度,瞬时,b,等式两边乘以,r,i,并对所有质元及其所受力矩求和,=,内力矩成对抵消,=,0,+,r,i,i,f,sin,q,i,i,F,i,j,sin,r,i,合外力矩,M,b,r,r,m,i,r,m,i,i,2,(,),得,M,b,r,r,m,i,r,m,i,i,2,(,),=,二、刚体的转动定律,转动定律某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rm,30,转动惯量,某质元,r,m,i,r,m,i,f,i,受内力,受外力,F,i,F,i,+,f,=,r,m,i,r,m,i,a,i,i,其法向,n,分量均通过转轴，,不产生转动力矩。,t,其切向,投影式为,i,j,F,i,sin,+,i,f,sin,q,i,t,=,r,m,i,r,m,i,a,i,=,r,m,i,r,m,i,r,i,b,t,n,r,m,i,r,m,i,F,i,O,r,i,f,i,i,j,q,i,瞬时,角速度,w,角加速度,瞬时,b,等式两边乘以,r,i,并对所有质元及其所受力矩求和,=,内力矩成对抵消,=,0,+,r,i,i,f,sin,q,i,i,F,i,j,sin,r,i,合外力矩,M,b,r,r,m,i,r,m,i,i,2,(,),得,M,b,r,r,m,i,r,m,i,i,2,(,),=,二、刚体的转动定律,M,b,r,r,m,i,r,m,i,i,2,(,),=,与刚体性质及质量分布有关的物理量，用 表示,称为,转动惯量,I,b,I,M,刚体的转动定律,即,b,M,I,M,I,刚体所获得的角加速度,的大小与刚体受到的,b,合外力矩 的大小成正比，,与刚体的转动惯量 成反比。,转动惯量某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rm,31,转动惯量的计算,二、转动惯量及其计算,M,b,=,I,将刚体转动定律,与质点运动定律,F,=,a,m,对比,转动惯量 是刚体转动惯性的量度,I,I,r,m,i,r,i,r,i,2,与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关,质量连续分布的刚体用积分求,I,r,为体积元,d,V,处的密度,r,V,d,V,r,m,d,I,r,2,m,2,I,的单位为,m,2,k,g,转动惯量的计算二、转动惯量及其计算Mb=I将刚体转动定律与质,32,分立质点的算例,转动惯量的计算举例,可视为分立质点结构的刚体,m,1,2,m,转轴,O,r,1,r,2,若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则,I,r,m,i,r,i,r,i,2,m,1,r,1,2,+,2,m,r,2,2,转轴,O,2,m,m,1,6,0,1,l,2,l,I,r,m,i,r,i,r,i,2,+,2,m,m,1,2,1,l,(,sin,6,0,),2,(,sin,6,0,),2,l,0.75,(,m,1,1,l,2,+,2,m,2,l,2,),分立质点的算例转动惯量的计算举例可视为分立质点结构的刚体m1,33,直棒算例,质量连续分布的刚体,匀直细杆对中垂轴的,I,L,m,O,d,m,r,d,r,I,2,r,d,m,L,2,L,2,2,r,m,L,d,r,3,m,L,1,r,3,L,2,L,2,2,1,1,m,L,2,匀直细杆对端垂轴的,I,L,m,O,d,m,r,d,r,I,2,r,d,m,L,2,r,m,L,d,r,0,m,L,3,1,r,3,L,0,3,1,m,L,2,2,I,O,I,C,+,m,r,m,C,O,质心,新轴,质心轴,r,L,平行移轴定理,对,新轴,的转动惯量,I,O,对质心轴的转动惯量,I,C,r,新轴,对心轴的平移量,例如：,r,L,2,时,代入可得,I,端,3,1,m,L,2,直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的ILmOdmrd,34,圆盘算例,匀质薄圆盘对心垂轴的,I,取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元,r,d,r,d,m,2,d,m,m,p,R,2,p,d,r,r,2,m,R,d,r,2,r,O,r,d,r,R,m,d,m,d,m,3,I,2,r,d,m,0,R,2,r,2,m,R,d,r,2,r,2,m,R,d,r,2,0,R,r,2,m,R,2,4,r,4,0,R,2,1,R,2,m,圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的I 取半径为 微宽为,35,球体算例,匀质实心球对心轴的,I,m,O,R,r,r,y,y,d,d,m,d,m,2,r,R,2,y,2,r,R,p,3,4,3,m,可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加,I,d,距 为 、半径为 、微厚为,O,y,y,d,r,的薄圆盘的转动惯量为,d,m,r,d,V,p,r,2,r,y,d,2,r,d,m,I,d,2,1,其中,I,I,d,2,1,2,r,p,r,2,r,y,d,2,1,p,r,r,4,y,d,R,R,2,y,2,(,),y,d,2,2,1,p,r,R,1,5,8,p,r,R,5,2,2,5,m,R,(,),球体算例匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm2rR2,36,常用结果,L,R,m,m,匀质薄圆盘,匀质细直棒,转轴通过中心垂直盘面,2,2,I,=,m,R,1,2,3,I,=,m,L,1,转轴通过端点与棒垂直,常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22,37,其它典型,R,R,R,R,1,2,R,R,L,b,a,匀质矩形薄板,转轴通过中心垂直板面,I,=,(,a,+,b,),2,2,m,12,匀质细圆环,转轴通过中心垂直环面,I,=,m,R,2,匀质细圆环,转轴沿着环的直径,2,I,=,2,m,R,匀质厚圆筒,转轴沿几何轴,I,=,(,R,1,+,R,2,),2,2,m,2,匀质圆柱体,转轴通过中心垂直于几何轴,m,I,=,R,+,2,2,m,12,4,L,匀质薄球壳,转轴通过球心,2,I,=,2,m,R,3,其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板,38,转动定律例题一,三、转动定律应用选例,b,I,M,合外力矩 应由各分力矩进行合成 。,合外力矩 与合角加速度 方向一致。,b,M,在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。,M,M,b,与,时刻对应，何时,何时,b,则何时 ，,M,0,0,b,则何时,M,恒定,恒定。,例,匀直细杆一端为轴水平静止释放,O,L,m,q,m,g,M,m,g,L,2,1,q,cos,m,2,I,3,1,L,b,M,I,2,3,L,g,q,cos,2,p,q,q,0,b,M,m,g,L,2,1,2,3,L,g,M,0,b,0,转动定律例题一三、转动定律应用选例bIM合外力矩,39,转动定律例题二,例,已知,求,T,1,T,2,a,（以后各例同）,R,m,1,m,2,m,轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑,解法,提要,T,2,T,1,G,1,G,2,T,2,T,1,a,a,b,T,1,m,1,g,=,m,1,a,m,2,g,T,2,=,m,2,a,(,T,2,T,1,),R = I,b,a = R,b,I = m R,2,2,转动,平动,线-角,联立解得,a,=,m,1,m,1,+ m,2,+,g,m,2,m,2,1,g,T,1,=,m,1,(,g,+,a,),T,2,=,m,2,(,g,a,),m,1,g,m,2,g,如果考虑有转动摩擦力矩,M,r,则 转动式为,(,T,2,T,1,),R,M,r,= I,b,再联立求解。,转动定律例题二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮,40,转动定律例题三,例,R,m,1,m,细绳缠绕轮缘,R,m,（,A,）,（,B,）,恒力,F,滑轮角加速度,b,细绳线加速度,a,求,解法,提要,（,A,）,b,M,I,F,R,2,1,m,R,2,2,F,m,R,a,b,R,2,F,m,（,B,）,b,I,R,T,2,1,m,R,2,b,a,m,1,g,T,m,1,m,1,R,b,b,m,1,2,1,m,m,1,+,(,),R,g,a,b,R,m,1,2,1,m,m,1,+,(,),g,转动定律例题三例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑,41,转动定律例题四,R,m,1,m,2,m,例,已知,m,= 5kg,m,2,= 1kg,m,1,= 3kg,R,= 0.1m,T,2,T,1,T,1,T,2,G,1,G,2,b,a,a,解法,提要,对,m,1,m,2,m,分别应用,和,质点运动和刚体转动定律,m,1,g,T,1,=,m,1,a,T,2,m,2,g,=,m,2,a,(,T,1,T,2,),R = I,b,及,a = R,b,I = mR,2,2,1,得,b,=,(,m,1,-,m,2,),g,R,(,m,1,+ m,2,+ m,2,),常量,q,d,q,t,0,0,d,t,w,(,m,1,-,m,2,),g,R,(,m,1,+ m,2,+ m,2,),0,t,t,d,t,w,t,b,故,t,d,q,d,w,q,d,w,t,d,由,q,t,(,m,1,-,m,2,),g,R,(,m,1,+ m,2,+ m,2,),2,2,2,(rad),g,t,求,(,),t,q,q,物体从静止开始运动时，滑轮的,转动方程,转动定律例题四Rm1m2m例已知m= 5kgm2= 1kg,42,转动定律例题五,例,已知,q,q,m,B,(,),A,(,),L,m,L,L,2,L,O,O,q,从等倾角 处静止释放,两匀直细杆,地面,求,两者瞬时角加速度之比,b,b,解法,提要,M,b,I,b,b,M,I,M,I,2,1,3,sin,g,m,L,q,1,m,L,sin,g,m,L,q,1,m,L,3,2,1,2,2,根据,1,L,1,L,L,L,2,短杆的角加速度大,且与匀质直杆的质量无关,转动定律例题五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq 从,43,第三节,刚体定轴转动的功能关系,刚体定轴转动的功能关系,4 - 3,s,s,s,s,relation of work with energy in rotation of rigid-body,w,O,v,i,v,i,r,i,r,i,r,m,i,r,m,i,刚体中任一质元 的速率,r,m,i,r,m,i,v,i,v,i,r,i,r,i,w,该质元的动能,E,r,i,k,2,1,r,m,i,v,i,2,2,1,r,m,i,r,i,r,i,w,2,2,对所有质元的动能求和,E,k,E,r,i,k,2,1,r,m,i,r,i,r,i,2,w,2,(,),转动惯量,I,E,k,2,1,I,w,2,得,刚体,转动动能,公式,一、转动动能,刚体定轴转动的功能关系,刚体定轴转动的功能关系,Relation of work with energy in rotation of rigid-body,第三节刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系4 - 3,44,力矩的功,二、力矩的功和功率,O,q,d,j,P,r,r,d,t,F,力,的元功,F,d,A,F,r,d,cos,F,r,d,2,p,j,(,),F,r,d,r,d,sin,j,F,r,sin,j,q,d,M,q,d,d,A,M,q,d,力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算,若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，,q,1,2,q,M,M,作的总功为,d,A,A,q,1,2,q,M,q,d,力矩的瞬时功率,N,A,d,d,t,w,M,q,d,d,t,M,力矩的功二、力矩的功和功率OqdjPrrdtF力,45,力矩的功算例,求,拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小,R,r,O,r,d,m,m,d,2,p,(,),解法,提要,总摩擦力矩 是,M,r,r,各微环带摩擦元力矩 的积分,M,r,d,环带面积,d,s,d,r,环带质量,d,m,p,r,2,d,m,d,s,d,环带受摩擦力,g,m,m,d,m,f,d,r,环带受摩擦力矩,M,r,d,f,d,r,r,2,m,m,g,R,2,r,2,d,r,圆盘受总摩擦力矩,M,r,M,r,d,转一周摩擦力矩的总功,A,0,p,2,M,r,d,q,0,R,2,m,m,g,R,2,r,2,d,r,A,0,p,2,M,r,d,q,0,p,2,d,q,3,4,p,m,m,g,R,得,例,已知,粗 糙 水 平 面,m,m,m,R,O,转轴,d,平放一圆盘,力矩的功算例求拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrd,46,刚体的动能定理,三、刚体转动的动能定理,回忆质点的动能定理,m,A,2,1,v,2,1,m,v,2,0,2,刚体转动的动能定理,？,由,力矩的元功,d,A,q,d,M,转动定律,b,I,M,d,A,b,I,q,d,I,w,d,t,d,q,d,I,q,d,t,d,w,d,I,w,w,d,则,A,d,A,q,d,M,q,0,q,w,0,w,I,w,w,d,2,1,2,1,2,0,2,I,w,I,w,合外力矩的功,转动动能的增量,刚体转动的动能定理,称为,刚体的动能定理三、刚体转动的动能定理回忆质点的动能定理mA2,47,动能定理例题一,例,R,1,m,q,O,2,m,匀质圆盘,盘缘另,固连,一质点,水平静止释放,通过盘心垂直盘面的水平轴,求,圆盘下摆 时质点 的,0,3,q,2,m,角速度,w,a,t,、切向、法向加速度,n,a,的大小,解法,提要,对,1,m,2,m,系统,外力矩的功,系统转动动能增量,w,2,I,2,1,m,1,其中,I,2,1,2,R,+,m,2,2,R,R,2,m,sin,g,0,3,得,w,2,m,2,g,(,),+,m,1,2,m,2,R,由转动定律,得,b,I,M,cos,R,2,m,g,0,3,I,3,2,m,g,(,),+,m,1,2,m,2,R,则,a,t,b,R,3,2,m,g,+,m,1,2,m,2,R,n,a,w,2,2,m,2,g,+,m,1,2,m,2,动能定理例题一例R1mqO2m匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静,48,动能定理例题二,解法,提要,外力矩作的总功,g,m,A,0,2,p,L,2,q,d,cos,q,从水平摆至垂直,由,A,w,2,1,2,I,0,w,2,1,2,I,得,w,2,A,I,代入得,w,g,m,L,2,L,m,I,2,3,1,本题,g,L,3,利用,v,r,w,的关系,还可算出此时杆上各点的线速度,已知,例,水平位置静止释放,求,摆至垂直位置时杆的,w,G,q,w,0,0,w,g,m,O,？,L,m,(,),匀直细杆,一端为轴,动能定理例题二解法提要外力矩作的总功gmA02pL2qdco,49,动能定理例题三,解法,提要,L,g,m,3,9,2,段，外力矩作正功,a,A,2,q,d,cos,0,2,p,a,q,a,段，外力矩作负功,b,2,A,q,d,cos,0,2,p,q,L,g,m,1,3,2,b,b,4,1,A,A,i,L,g,m,合外力矩的功,a,G,b,G,从水平摆至垂直,由,A,w,2,1,2,I,0,w,2,1,2,I,得,w,2,A,I,转轴对质心轴的位移,L,4,r,I,I,c,+,m,r,2,L,m,2,4,8,7,代入得,w,2,4,7,g,L,已知,例,求,摆至垂直位置时杆的,w,a,b,L,1,4,3,4,L,b,G,a,G,q,w,0,0,w,1,4,g,m,3,4,g,m,O,水平位置静止释放,动能定理例题三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qd,50,含平动的转动问题,四、含 的功能原理,质 点 平 动,刚体定轴转动,+,r,E,机械,A,外,力,A,非保守内,力矩,力,力矩,(,E,动,+,),E,势,(,E,动,+,),E,势,0,0,(,),E,平动,+,E,转动,(,),E,+,E,0,0,平动,转动,系统（轮、绳、重物、地球）,左例,忽略摩擦,A,外,力,力矩,0,A,非保守内,力矩,力,0,E,平动,E,转动,E,势,E,0,平动,E,0,转动,E,势,0,I,+,+,m,1,v,2,1,2,g,h,m,1,2,1,w,2,0,0,g,m,1,h,0,可求,a,v,b,w,或,(,),h,h,0,此外,R,m,I,2,1,2,a,v,2,2,(,),h,h,0,v,w,R,a,b,R,0,0,势,g,h,h,v,0,0,v,a,w,b,O,m,1,m,1,m,R,含平动的转动问题四、含 的功能原,51,第四节,刚体的角动量守恒定律,4 - 4,s,s,s,s,law of conservation of angular momentum of rigid-body,刚体的角动量,刚体的角动量,定轴转动刚体的角动量,定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加,所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动,任一质元（视为质点）的质量,m,r,i,其角动量大小,L,i,m,r,i,v,i,r,i,w,2,m,r,i,r,i,v,i,m,r,i,O,r,i,w,v,i,r,i,w,全部质元的总角动量,L,L,i,w,2,m,r,i,r,i,(,),w,I,对质量连续分布的刚体,L,L,i,w,w,I,m,2,r,(,),d,L,w,I,定轴转动刚体的角动量,大 小,方 向,L,与 同绕向,w,L,w,或 与 沿轴同指向,角动量,第四节刚体的角动量守恒定律4 - 4sssslaw of c,52,刚体的角动量定理,w,b,M,L,1.刚体的,角动量定理,I,I,t,d,d,(,),d,t,d,t,d,d,I,w,合外力矩,角动量的时间变化率,（微分形式）,（积分形式）,L,1,1,2,d,2,1,2,1,d,t,2,t,t,M,L,L,L,L,I,w,I,w,冲量矩,角动量的增量,刚体的角动量定理,刚体的角动量定理,回忆质点的角动量定理,（微分形式）,（积分形式）,0,t,t,d,L,M,d,t,L,0,L,L,L,0,d,d,t,L,r,F,M,刚体的角动量定理wbML1.刚体的角动量定理IItdd()d,53,刚体系统的角动量定理,2.刚体系统的,角动量定理,若一个系统包含多个,共轴,刚体或平动物体,系统的总合外力矩,M,i,L,t,d,d,i,系统的总角动量的变化率,1,d,t,2,t,t,M,系统的总冲量矩,系统的总角动量增量,(,),1,L,L,i,i,2,系统： 轻绳,m,m,1,（忽略质量）,总合外力矩,对,O,的角动量,m,m,1,对,O,的角动量,g,m,1,R,L,m,L,m,1,I,w,2,1,m,R,2,w,m,1,v,R,m,R,2,w,M,i,M,i,L,t,d,d,i,由,得,g,m,1,R,t,d,d,同向,(,2,1,m,R,2,w,+,m,R,2,w,),2,1,m,(,m,1,+,),R,2,w,t,d,d,w,t,d,d,b,而,解得,b,g,m,1,2,1,m,(,m,1,+,),R,例如,w,O,v,m,1,g,m,1,m,R,R,静止释放,b,求角加速度,刚体系统的角动量定理2.刚体系统的角动量定理若一个系统包含多,54,主要公式归纳,刚 体,M,L,t,d,d,（微分形式）,（积分形式）,刚体系统,角动量定理,M,i,L,t,d,d,i,1,d,t,2,t,t,M,(,),1,L,L,i,i,2,1,d,t,2,t,t,M,1,L,L,2,刚体的,归纳：,I,w,L,角动量,关键式：,I,w,L,M,L,t,d,d,是矢量式,I,w,L,M,L,t,d,d,与质点平动对比,m,v,p,F,t,d,d,p,主要公式归纳刚 体MLtdd（微分形式）（积分形式）刚体系,55,刚体的角动量守恒定律,刚体的角动量守恒定律,刚体的角动量守恒定律,刚体的,角动量定理,由,M,L,t,d,d,刚体所受合外力矩,M,0,若,则,L,t,d,d,0,即,L,I,w,常矢量,当刚体所受的合外力矩 等于零时，,M,I,w,刚体的角动量 保持不变,。,刚体的角动量守恒定律,刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律,56,回转仪定向原理,L,w,I,万向支架,受合外力矩为零,回转体质量呈轴对称分布；,轴摩擦及空气阻力很小。,角动量守恒,L,w,I,恒矢量,回转仪定向原理,w,I,其中转动惯量,为常量,若将回转体转轴指向任一方向,使其以角速度 高速旋转,则转轴将保持该方向不变,而不会受基座改向的影响,基 座,回转体,（转动惯量 ）,I,w,回转仪定向原理LwI万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称,57,角动量守恒的另一类现象,角动量守恒的另一类现象,变小则,I,w,变大，,乘积,保持不变,，,I,w,变大则,I,w,变小。,收臂,大,小,I,w,用外力矩启动转盘后撤除外力矩,张臂,I,大,小,w,角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，,58,花样滑冰中常见的例子,角动量守恒的另一类现象,变小则,I,w,变大，,乘积,保持不变,，,I,w,变大则,I,w,变小。,收臂,大,小,I,w,用外力矩启动转盘后撤除外力矩,张臂,I,大,小,w,花 样 滑 冰,收臂,大,小,I,w,张臂,I,w,大,小,先使自己转动起来,收臂,大,小,I,w,花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘,59,共轴系统的角动量守恒,共轴系统,若,0,I,M,w,S,外,则,L,S,i,恒矢量,S,i,i,轮、转台与人系统,I,轮,I,人台,初态,全静,L,S,i,初,0,人沿某一转向拨动轮子,w,轮,末态,w,人台,I,轮,w,轮,L,S,i,末,+,I,人台,w,人台,L,S,i,初,0,得,I,人台,w,人台,I,轮,w,轮,导致人台反向转动,共轴系统的角动量守恒共轴系统若0IMwS外则LSi恒矢量Si,60,直升飞机防旋措施,直升飞机防止机身旋动的措施,用两个对转的顶浆,（支奴干 CH47),165,用 尾 浆,（美洲豹 SA300）,（ 海豚 ）,直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（,61,守恒例题一,w,A,静,已知,例,A,I,B,I,A、B两轮共轴,A以,w,A,作惯性转动,解法,提要,以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。,初态角动量,w,A,A,I,+,0,(,),A,I,+,B,I,w,A,B,末态角动量,得,w,A,B,w,A,A,I,(,),A,I,+,B,I,求,两轮啮合后,一起作惯性转动的角速度,w,AB,w,A,B,守恒例题一wA静已知例AIBIA、B两轮共轴A以wA作惯性转,62,守恒例题二,解法,提要,以弹、棒为系统,击入阶段,子弹击入木棒瞬间,，,系统在,铅直位置，受合,外力矩为零,，角动量守恒。,w,v,0,+,m,1,v,0,l,m