资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、函数单调性的判定,第三章导数的应用,第二节函数单调性的判定,函数的极值,二、函数的极值,一、函数单调性的判定第三章导数的应用第二节函数单调性的判,1,定理,1,设函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续，在,(,a,b,),内可导，,(1)若,x,(,a,b,)时,f,(,x,) 0，,则,f,(,x,),在,a,b,上,单调递增,；,一、函数单调性的判定,(2)若,x,(,a,b,)时,f,(,x,) 0，,则,f,(,x,),在,a,b,上,单调递减,;,(3)若,x,(,a,b,)时,f,(,x,) = 0，,则,f,(,x,),在,a,b,上为,常数,.,定理 1设函数 y = f (x) 在a, b,2,证,(,1,)在,a,b,上任取两点,x,1,、,x,2,，,且,x,1,x,2,，,由拉格朗日中值定理有,其中,x,(,x,1,x,2,),.,由于,f,(,x,)在(,a,b,)内可导,从而,f,(,x,)在,x,1,x,2,上,连续,在(,x,1,x,2,)内可导,证 (1)在a, b上任取两点x1、x2 ，且 x1,0，,故,f,(,x,1,), 0,，,x,2,x,1, 0, 因此,定理中的闭区间改为其他各种区间结论也,成立.,f (x2) f (x1) 0，故,4,求函数,y,=,f,(,x,),的单调区间的一般步骤是：,(1)确定函数,f,(,x,),的定义域；,并用这些点把定义区间,分成若干个部分区间；,(,3,)列表讨论函数,在各个部分区间的单调性.,(2)求出,f,(,x,) 的全部驻点(即,使,f,(,x,) = 0的点,),和导数,f,(,x,) 不存在的点,，,注意,求函数 y = f (x) 的单调区间的一般步骤是：(1)确,5,例,1,求函数,f,(,x,) =,x,2,的单调区间,解,(,1,)函数,的定义域为,(, ,)；,(,2,),f,(,x,) = 2,x,，,令,f,(,x,) = 0,，得,x =,0,;,(,3,),x =,0 把(, ,)分成两个部分区间：,(,0)，,(,0,),列表讨论,f,(,x,) 的符号:,x,(, ,0),0,(,0, ,),f,(,x,),0,f,(,x,),0,箭头 ， 分别表示函数在指定区间递增和递减.,所以,函数在(, ,0内单调递减;0,+,),内单调递增.,例 1求函数 f (x) = x2 的单调区间解 (1),6,解,(,1,)函数,的定义域为,(, ， ,)；,例,2,令,y,=,0,得,x,= 1; 当,x,= 0时,y,不存在.,(,3,),列表讨论,f,(,x,) 的符号:,(,2,),x,(, , 0,),(0,1,),(,1, ,),f,(,x,),-,f,(,x,),0,不存在,0,1,0, 0.5,由定理知:函数在,(, ,0,和,1,+,),内单调递增;在,0,1内单调递减.,解 (1)函数的定义域为 ( ， )；例 2令 y,7,证,设,f,(,x,) =,e,x, ex, 则,f,(,x,) 在 1,)内连续,例,3,证明当,x,1时,e,x, ex .,f,(,x,),=,e,x, e, 0,由定理知:,f,(,x,) 在,1,)内单调递增,且,f,(1) = 0. 在,(1,)内,故,x, 1 时,f,(,x,) ,f,(1) , 从而,e,x,ex ,0,即,e,x, ex .,证 设 f (x) = e x ex , 则 f (x),8,定义,设函数,y,=,f,(,x,) 在点,x,0,及其附近的点有定义，若对点,x,0,附近任一点 (,x x,0,), 均有,(,1,),f,(,x,) ,f,(,x,0,),则称,f,(,x,0,),为,f,(,x,) 的,极大值,，,称点,x,0,为,f,(,x,) 的,极大点,；,(,2,),f,(,x,0,) 0,在,x,0,的右侧,f,(,x,) 0,则,f,(,x,0,) 是,f,(,x,) 的极大值；,(,2,)如果在点,x,0,的左侧,f,(,x,) 0,则,f,(,x,0,) 是,f,(,x,) 的极小值；,(,3,)如果在点,x,0,的左、右两侧,(,点,x,0,除外,),f,(,x,) 同号, 则,f,(,x,) 在,x,0,处没有极值.,定理 3 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x),12,求函数极值的一般步骤是：,(,1,),确定函数的定义域;,(,2,)求,函数的导数, 确定驻点和导数不存在的点；,(,4,)由定理,3, 判定函数的极值点并求出极值.,(,3,)列表讨论,f,(,x,) 在上述各点左右近旁的符号；,注意,求函数极值的一般步骤是：(1)确定函数的定义域;(2)求函数,13,解,(,1,)函数,的定义域为,(, ， ,)；,例,4,求函数 的极值.,(,3,),列表讨论,f,(,x,) 的符号:,x,(, , 1,),(,1,3),(,3, ,),f,(,x,),-,f,(,x,),1,0,极大值,3,0,极小值,令,y,= 0,得,(,2,),(4)极大点为,x =,1, 极大值为,极小,点为,x =,3, 极小值为,f,(3)=,12.,解 (1)函数的定义域为 ( ， )；例 4 求,14,解,由例,2知, 函数的驻点是,x,=,1,x,=,0,是使,例,5,y,不存在的点.,列表讨论,f,(,x,) 的符号:,x,(, , 0,),(0,1,),(,1, ,),f,(,x,),-,f,(,x,),0,不存在,1,0,极小值,极大值,因此,极大点为,x =,0, 极大值为,f,(0)=,0;,极小,点为,x =,1, 极小值为,f,(1)=,0.5.,解 由例2知, 函数的驻点是 x = 1, x = 0,15,定理,4,(,极值的第二充分条件,),(,1,),如果,f,(,x,0,),0，则,f,(,x,) 在,x,0,处有极小值,f,(,x,0,)；,且,f,(,x,0,) = 0，,f,(,x,0,),0.,设函数,y,=,f,(,x,) 在点,x,0,处二阶导数存在，,(,2,),如果,f,(,x,0,),0，则,f,(,x,) 在,x,0,处有极大值,f,(,x,0,).,定理 4( 极值的第二充分条件 )(1)如果 f,16,例,6,求函数,f,(,x,),= 2,x,3,3,x,2,12,x,+14,的极值.,解,定义域为 (,+,).,f,(,x,) = 6,x,2,6,x,12,=,6(,x+,1)(,x,-,2),，,令,f,(,x,) =,0 得驻点,x,=,1,x,= 2,f,(,x,) = 12,x,6,=,6(2,x,-,1),，,因为,f,(,1,) =,18 ,0, 故,x,= 2 为极小点,f,(,2,),=,6 为极小值.,例 6 求函数 f (x) = 2x3 3x2 12x,17,例,7,求函数,f,(,x,),=,x,4,的极值.,解,定义域为 (,+,).,f,(,x,) = 4,x,3,，,令,f,(,x,) =,0, 得驻点,x,= 0, 代入得,f,(0) = 0.,f,(,x,) = 12,x,2,，,因为用第二充分条件无法判定,f,(,x,) 在,x,= 0 处有无极值，所以只能用,第一充分条件去判定.,显然,f,(,x,),=,x,4,在点,x,= 0 的左侧为减函数, 右侧为增函数, 即,f,(,x,),=,x,4,在,x,= 0 处取得极小值 0，这说明,第二充分条件不如第一充分条件应用广泛.,例 7 求函数 f (x) = x4 的极值.解定义域,18,
展开阅读全文