[高考数学]立几解题策略

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,立体几何解题的根本策略,单三步,教学目标,1.初步掌握“立体几何中“探索性“发散性等命题的解法。,2。提高立体几何综合运用能力。能正确地分析出几何体中根本元素及其相互关系。能对图形进行分解、组合和变形。,3。能用立体几何知识解决生活中的问题。,一、点、线、面间关系的转化,立体几何的知识告诉我们，最核心的内容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又通过判定定理、性质定理而相互转化。定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化。,点面,点点 点线 线面 面面,线线,单三步,在,Rt,CDE,上作高,CH,，由,RtACD,中,CAD=30,0,为二面角的平面角,.AD=10,得,AC=5 ,CD=5;,又在,RtABC,中，,ACB=60,0,有,CE=AB=15,最后在,RtACD,中，由,CE=AB=15,得,DE=5 ,从而,CH=,例1 (如图)二面角 AB 的平面角为 300，在上作ADAB，AD=10，过D作 CD于C,假设ACB=600，求AC与BD的 距离。,解,作BEAC，CEAB,连EC,ED，那么AC面BDE，直线AC到面BDE的距离就是AC到BD的 距离.这时，AC上任一点到面BDE的距离就是所求.,C,B,E,A,H,D,由,DC;,又,AD,AB,，根据三垂线定理，,AC,AB.,但,ABCE,故,AC,CE.,从而,AC,面,CDE,。又,BEAC,得,BE,面,CDE,进而面,BDE,面,CDE,，,单三步,三个步骤,:,一、,线线,距离转化为,线面,距离,A,B,C,D,E,H,二、再转化为,点面,距离,三、计算距离,单三步,解法二,用体积法计算,V,D-BCE,=V,C-BDE,.,解法三,外接于一个长方体用,补形,的方法解决,C,E,B,A,D,H,单三步,二,、,平 面 化 的 思 考,在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样选取平面呢,?,有以下几个主要,方法,1,、,截面法,2,、隔离法,3,、展平法,4,、投影法,单三步,例,2,、,在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，设,C,1,D,1,B,所在的半平面为,，,C D,1,B,所在的半平面为,，,BD,1,所在的直线是,与,的交线。求二面角,BD,1,的度数,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,M,N,因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的，所以解题的一个方向是找平面角。,分析,解,在平面,A B C,1,D,1,上，由点,A,向,B D,1,引垂线，与,BD,1,交于,M,与,BC,1,交于,N,，连,CM,，由于正方体关于面,BB,1,D,1,D,的对称性，必有,CMBD,1,，因此，,NMC,就是二面角的平面,设正方体的棱长为，那么AC2,=CD,1,2,=2a,2,，,AM,2,=MC,2,=a,2,在,AMC,中，由余弦定理得,AMC=120,0,，从而,N,MC=60,0,，即二面角,BD,1,的度数为,60,0,。,单三步,M,C,D,A,B,N,A,B,C,D,M,N,例3、假设空间四边形的两组对边相等，那么两条对角线的中点连线垂直对角线。,三、图 形 变 换,证明 如图，空间四边形ABCD中，M,N是对角AC,BD的中点，现将A与C交换,B与D交换，得到同一位置的空间四边形，而这个四边形又可看作一个绕着某一轴轴对称旋转1800 得到另一个，由A与C关M于对称，B与D关于N 对称知，对称轴必经过MN，从MNAC，MNBD。,单三步,A,B,C,D,M,M,C,D,A,B,N,证明,2,、,将,ACD,绕,AC,展平到面,ACD,上，得,ABCD,，则,BD,与,AC,相交与,M,，,BM=MD,。再将图形复原，由,BM=MD,，,BN=ND,知,MN,是等腰三角形,MBD,底边上的高，有,MNBD,。同理,MNAC,。,单三步,D,C,B,A,N,M,图形变换包括,1,、空间的对称,2,、,空间的,旋转,3,、空间的折叠,4,、,空间的,展平,直观上补充成为长方体，那么MN是上下底面中心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂直于AC,BD.,单三步,C,1,C,1,C,A,A,B,C,D,D,B,1,D,1,互动、如图，给一个长方体，其共顶点的3条棱互不相等，现在要由一顶点沿外表到对角顶点，求最短的线路。,A,B,D,C,A,1,B,1,C,1,D,1,分析,：,将长方体各面展于同一平面上可省去底面ABCD由两点间距离最短知，,有三条相对短的走法，设三条共点棱长为,AB=a,AD=b,，,AA,1,=c,，且由勾股定理可算 得,AFC,1,最短。,F,F,单三步,A,1,四、体 积 法,用两种方法计算同一体积，从而得出未知数的等量关系，这是平面几何的面积法的直接推广，用这种方法求点到平面的距离时，可免去找距离线段或论证垂直关系的推理过程，在种方法多用于四面体和长方体，因为它们对底面的选择有很大的自由度，可以方便地“换底,练习:如图，ABCD是边长为4的正方形，E，F 分别是 AB,AD 的中点，CG 垂直于 ABCD 所在的平面，且 CG=2，求 B 点到平面 GEF 的距离。,E,F,C,A,B,D,G,单三步,E,F,A,B,C,D,G,H,解,连,BF,，,BG,有,=2,记,H,为,AC,与,EF,的交点，由,CG,为平面,AC,的垂线，,ACEF,知，,CHEF,且由,，知，,根据等积关系 ，有,得到,B,到平面,GEF,的距离是,.,单三步,五、基 本 图 形 法,立体几何中的根本图形是正方体，熟练掌握正方体的根本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方体，“能割善补是学习立体几何的诀窍。,练习,:,有三个边长为,a,的正方形，分别将每一个正方形的一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为,a,的 正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折起，如图，求所成立体图形的体积。,单三步,P,P,P,H,H,H,K,K,K,G,G,G,A,B,C,D,E,F,G,K,F,E,D,C,B,A,P,H,解法一 分割将,立体图形分割为一个正六棱锥,PABCDEF,与三个三棱锥,PGAF,PHBC,PKDE,之和。,单三步,H,P,K,G,A,B,C,D,E,F,解法二 补充将立体图形补充为一个正方体如图，,得,V=a,3,那么所求的立体图形体积是正方体体积的一半,单三步,六、投 影 法,投影,是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广泛空间问题的一个通法,.,例,7,设,PP,1,QQ,1,是空间中两条异面直线,A,B,C,是直线,QQ,1,上,3,点,且点,B,在,A,C,之间,A,1,B,1,，,C,1,是由,A,B,C,向直线，,PP,1,所引垂线的垂足,证明,BB,1,max,AA,1,CC,1,P,Q,P,1,Q,1,O,A,B,C,A,1,B,1,C,1,A,2,B,2,C,2,单三步,证明,作平面,垂直于,PP,1,，则直线,PP,1,在平面,上 的投影为一点，记为,O,，由,AA,1,PP,1,，,BB,1,PP,1,CCPP,1,知,AA,1,BB,1,CC,1,从而,AA,1,在,上的投影,OA,2,=AA,1,BB,1,在,上的投影,OB,2,=BB,1,CC,1,在,上的投影,OC,2,=CC,1,且由,B,在,A,C,之间知,B,2,在,A,2,C,2,之间,在,OA,2,C,2,中,有,maxOB,2,A,2,OB,2,C,2,90,0,从而,OB,2,maxOA,2,OC,2,即,BB,1,maxAA,1,CC,1,.,单三步,课堂小结,点、线、面关系的相互转化;,选择恰当的平面，或对平面展开、投影、拓展等处理；,对整体图形的展开、旋转、放置等变换；,等体积法解决点到面的距离；,根本常规图形的能割善补；,作垂线用投影。,课后作业,完成“优化探究高考专题复习：专题一 函数与导数；,完成“2021年高考数学最新调研模拟卷二；周三下午上交。,单三步,希望同学们再接再厉，,在二练中取得好成绩。,