矢势及其微分方程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本章内容：,电磁场的基本理论应用到静磁场的情况，即研究恒定电流激发的磁场。,在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上都带有一定的电荷，但由于电场和磁场与时间无关，因而电场和磁场可以分开研究。根据麦克斯韦方程组，恒定电流激发的磁场满足：,与静电场的标势相对应，静磁场的矢势是一个重要概念。,第三章 静磁场,本章内容：电磁场的基本理论应用到静磁场的情况，即研究恒定电流,1,一、矢势,1.矢势的概念,恒定电流磁场的基本方程是,上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。,磁场的特点和电场不同：,静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，静电场线永不闭合，可以引入标势来描述。,静磁场是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。一般情况下不能用标势描述。,3.1,矢势及其微分方程,一、矢势1.矢势的概念恒定电流磁场的基本方程是上两式结合物,2,但由于,所以,B,可以表为另一矢量场的旋度，即,A,称为磁场的矢势。,2.矢势,A,的物理意义,为了看出矢势,A,的意义，我们考察上式的积分形式。把,B,对任一个以回路,L,为边界的曲面,S,积分，得,这就是通过曲面S的磁通量。,设,S,1,和,S,2,是两个有共同边界,L,的曲面，则,这正是,B,的无源性的表现。,但由于,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即A称为磁场的矢势。,3,因为是无源的，在,S,1,和,S,2,所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，,B,线连续地通过该区域，因而通过曲面,S,1,的磁通量必须等于通过曲面,S,2,的磁通量。这磁通量由矢势,A,对,S,1,或,S,2,的边界的环量表示。,因此，矢势,A,的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有,A,的环量才有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。,由矢势,A,可以确定磁场,B,，但是由磁场,B,并不能唯一地确定,矢,势,A,。,例如：有沿,Z,轴方向的均匀磁场:,其中,B,0,为常量。,因为是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线发出，也,4,由定义式:,我们不难看出有解：,同时还可以看出有另一解：,由定义式:我们不难看出有解：同时还可以看出有另一解：,5,3.确定,A,的辅助条件,A,的这种任意性是由于只有,A,的环量才有物理意义，而每点上的,A,本身没有直接的物理意义。,因为任意函数 ，其梯度的旋度恒为零，故有,即,与,A,对应于同一个磁场,B,。,由于,A,的这种任意性，要确定,A,，必须加一个辅助条件。最常用的办法就是令,3.确定A的辅助条件A的这种任意性是由于只有A的环量才有物,6,证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在一个矢势,A,，满足,证：,设有一个,A,，,满足,我们另取一个矢势,显然,A,可以描述磁场，即,，但,现在,的一个解，问题得证。,取 为泊松方程,当加上辅助条件 以后，,A,就可以确定下来。对,A,所加的辅助条件称为规范条件。,证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在一个矢势A，满足证,7,二、矢势微分方程,1.,A,的微分方程,在均匀线性介质内。,B,=,A,=,H,，代入方程,得矢势,A,的微分方程,H,=,J,由矢量分析公式,得,若取A满足规范条件,A,=0,，得矢势的微分方程,A,的每个直角分量,A,i,满足泊松方程,二、矢势微分方程1.A的微分方程在均匀线性介质内。B=,8,2.若,J,已知，求,A,对比,的解,方程,的解应为：,所以方程,的解为：,可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程的解。,式中,x,是源点,x,为场点，,r,为由,x,到,x,的距离。若讨论真空情形，令,=,0,即可。,2.若J已知，求A对比的解方程的解应为：所以方程的解为：,9,3.根据,A,求,B,对于线电流情形，设,I,为导线上的电流强度，作代换,J,d,V,I,d,l,，得,这就是毕奥萨伐尔定律给出的结果。,3.根据A求B对于线电流情形，设I为导线上的电流强度，作,10,三、矢势边值关系,由前面知，当全空间的电流分布,J,给定时，可以计算磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势微分方程的边值问题必然要用到矢势的,边值关系。,在两介质分界面上磁场的边值关系为,将场量用矢势,A,表示出来，即可得到矢势的边值关系。,矢势的边值关系为,三、矢势边值关系由前面知，当全空间的电流分布J给定时，可以计,11,四、静磁场的能量,1.磁场的总能量,静磁场的总能量为,由于,所以,若取规范,A,=0,，可以证明,可以用较简单的形式,A,1,=,A,2,代替。,四、静磁场的能量1.磁场的总能量静磁场的总能量为由于所以若,12,仅对总能量有意义，不能把(,A,J),/2看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域内。,和静电情形一样，公式：,在上式中，矢势,A,是电流分布,J,本身激发的。某电流分布,J,在给定外磁场中的相互作用能量又如何呢？,2.电流与外磁场的相互作用能,如果我们要计算某电流分布,J,在给定外磁场中的相互作用能量，以,A,e,表示外磁场的矢势，,J,e,表示产生该外磁场的电流分布，则总电流分布为,J,+,J,e,，总磁场矢势为,A,+,A,e,，,仅对总能量有意义，不能把(AJ)/2看作能量密度，因为我们,13,所以，电流,J,在外场中的相互作用能为：,磁场的的总能量为,由于,积分表达式中两项相等，因此电流,J,在外场,A,e,中的相互作用能量为,所以，电流J在外场中的相互作用能为：磁场的的总能量为由于积分,14,o,z,dz,R,P,I,例1 无穷长直导线载电流,I,，求磁场的矢势和磁感应强度。,解：,设,P,点到导线的垂直距离为,R,电,流元,利用,得,积分是发散的。计算两的矢势差值可以免除发散。,I,d,z,到,P,点的距离为,ozdzRPI例1 无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和,15,若取,R,0,点的矢势为零，计算可得,取,A,的旋度得磁感应强度,若取R0点的矢势为零，计算可得取A的旋度得磁感应强度,16,解：,线圈电流产生的矢势为,例2 半径为,a,的导线园环载电流,I,，求矢势和磁感,应强度。,用球坐标(,R,)，由对称性可知,A,只有,分量，,A,只依赖于,R,而与,无关。因此我们可以选定在,xz,面上的一点,P,来计算，在该点上,A,=,A,y,。取,y,分量。由于,解：线圈电流产生的矢势为例2 半径为a的导线园环载电流,17,则,上式的积分可用椭园积分表示。当,时，可以较简单的计算出近似结果。把根式对,展开。在积分表达式中展开式的偶次项对,积分为零，因此只需保留奇次项。,若我们要计算,B,(,R,),到二级近似。则,A,需要算到三级项。,则上式的积分可用椭园积分表示。当 时，可以较简单的计算出近似,18,包括远场,此式的适用范围是,和近轴场,我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标(,z,),较为方便。展开式实际上是对,取至,3,项，有,的展开式。,包括远场此式的适用范围是和近轴场我们计算近轴场。这种情况下,19,取,A,的旋度，得,上式对任意,z,处的近轴场成立。若求近原点处的场(,z,a,)，可把上式再对,z,/,a,展开，得,取A的旋度，得 上式对任意z处的近轴场成立。若求近原点处的场,20,