《数学分析》第十四章幂级数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2 函数的幂级数展开,2 函数的幂级数展开,1,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以,f(x),为和函数,问题:,1.如果能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,2,证明,证明,3,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数,4,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于,f,(,x,)?,不一定.,问题定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.,5,可见,在,x=,0点任意可导,可见在x=0点任意可导,6,证明,必要性,证明必要性,7,充分性,充分性,8,证明,证明,9,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:,10,例1,解,由于,M,的任意性,即得,例1解由于M的任意性,即得,11,例2,解,例2解,12,例3,解,例3解,13,数学分析第十四章幂级数课件,14,两边积分,得,两边积分得,15,即,牛顿二项式展开式,注意:,即牛顿二项式展开式注意:,16,双阶乘,双阶乘,17,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法,求展开式.,例如,2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,18,数学分析第十四章幂级数课件,19,例4,解,例4解,20,数学分析第十四章幂级数课件,21,三、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,三、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条,22,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,思考题什么叫幂级数的间接展开法？,23,思考题解答,从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.,思考题解答 从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运,24,练 习 题,练 习 题,25,练习题答案,练习题答案,26,数学分析第十四章幂级数课件,27,