晶体的宏观对称性课件

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,福建中医学院精品课程,推拿学,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,福建中医学院精品课程,推拿学,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,晶体的宏观对称性课件,2.,宏观对称性的数学描述,晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分，前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的对称性。本节我们主要学习,晶体的宏观对称性,。,主要内容：,1.,宏观对称元素,4.,群,/,对称操作群,5.,宏观对称性与物理性质,3.,三种几何体的对称操作,1-5,晶体的宏观对称性,2.宏观对称性的数学描述 晶体的对称性有宏观对,晶体的对称性,晶体外部形态的对称性，称为,宏观对称性,。晶体外形具有有限的大小，所有的对称元素都必须相交于晶体内部的某一点。因此，宏观对称性又叫做点对称性。（,1.5,，,1.6,节）,晶体内原子排列的对称性称为,微观对称性,，它是晶体内部原子无限排列所具有的对称性。（,1.7,节）,晶体宏观对称性是微观对称性的外在表现，晶体微观对称性则是宏观对称性的基础。,晶体的对称性晶体外部形态的对称性，称为宏观对称性。晶体外形具,对称是指物体相同部分作有规律的重复。,不改变物体,/,图形中任何两点的距离而能使图形复原的操作叫对称操作。,对称操作据以进行的几何要素叫做对称元素,旋转轴与旋转操作：将物体绕通过其中心的轴旋转一定的角度,使物体复原的操作。能使物体复原的最小旋转角（,0,除外）称,为基准角,；物体旋转一周复原的次数称为旋转轴的轴次,n,，,n=360,/,；,旋转轴的符号为,C,n,；,晶体只存在,C,2,C,3,C,4,C,6,旋转轴；晶体中可存在一条或多条旋转轴。,对称是指物体相同部分作有规律的重复。旋转轴与旋转操作：将物体,镜面与反映操作：通过物体中心的一个假想面，将物体平分成互为镜面反映的两个相等部分，称为反映操作；反映操作凭借的平面称为反映面或镜面,；晶体中可存在一个或多个镜面。,对称中心与反演操作：若物体中存在一点，使得物体中任意一点向此点引连线并延长到反方向等距离处而能使物体复原，则这种操作就是反演，这一点称为反演中心,i,。晶体中最多可有一个对称中心。,i,镜面与反映操作：通过物体中心的一个假想面，将物体平分成互为镜,旋转,-,反演对称轴,并不都是,独立的基本对称素。如：,1,2,1,2,3,4,5,6,1,2,反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反轴写为,I,n,。,旋转-反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：121234,7,A,B,D,C,E,F,G,H,正四面体既无四度轴也无对称心,6=3+,m,1,2,3,4,5,6,6,1,2,3,4,7ABDCEFGH正四面体既无四度轴也无对称心6=3+m12,反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反轴写为,I,n,。,恒等元素,E,与恒等操作：即物体不动的操作。,反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反,1,，,2,，,3,，,4,，,6,度旋转对称操作。,1,，,2,，,3,，,4,，,6,度旋转反演对称操作。,(3),中心反,演,：,i,。,(4),镜象反映：,m,。,C,1,，,C,2,，,C,3,，,C,4,，,C,6,（用熊夫利符号表示）,S,1,，,S,2,，,S,3,，,S,4,，,S,6,（用熊夫利符号表示）,点对称操作：,(2),旋转反演对称操作：,(1),旋转对称操作：,独立的对称操作有,8,种,即,1,，,2,，,3,，,4,，,6,，,i,，,m,， 。 或,C,1,，,C,2,，,C,3,，,C,4,，,C,6,，,C,i,，,C,s,，,S,4,。,1，2，3，4，6 度旋转对称操作。 1，2，3，4，6度旋,立方体对称性,(1),立方轴,C,4,：,3,个立方轴；,4,个,3,度轴；,(2),体对角线,C,3,：,(3),面对角线,C,2,：,6,个,2,度轴；,立方体对称性(1)立方轴C4：3个立方轴；4个3度轴；(2),晶体的宏观对称性课件,各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作,保持图形形状和大小不变的几何变换为正交变换。,概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换下的不变性,三维情况下，正交变换的表示,其中矩阵是正交矩阵,宏观对称性的数学描述,各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作,绕,z,轴转,角的正交矩阵,矩阵行列式等于,1,中心反演的正交矩阵,矩阵行列式等于,1,空间转动加中心反演，矩阵行列式等于,1,绕z轴转角的正交矩阵 中心反演的正交矩阵 空间转,对称操作,：一个物体在某一个正交变换下保持不变的操作,例,1,： 立方体的对称操作,1),绕三个立方轴转动, 9,个对称操作,物体的对称操作越多，其对称性越高,对称操作 ：一个物体在某一个正交变换下保持不变的操作例1：,共有,6,个对称操作,2),绕,6,条面对角线轴转动, 8,个对称操作,3),绕,4,个立方体对角线轴转动,4),不动操作, 共有6个对称操作2) 绕6条面对角线轴转动 8个,立方体的对称操作共有,48,个,5),以上,24,个对称操作加中心反演仍是对称操作, 立方体的对称操作共有48个5) 以上24个对称操作加,例,2,正四面体的对称操作,四个原子位于正四面体的四个顶角上，正四面体的对称操作包含在立方体操作之中,例2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上，,1),绕三个立方轴转动,共有,3,个对称操作, 8,个对称操作,2),绕,4,个立方体对角线轴转动,3),不动操作, 1,个对称操作,注：立方轴、体对角线、面对角线都是参照立方体的体心为原点的坐标系来讨论的,1) 绕三个立方轴转动 共有3个对称操作 8个对称, 6,个对称操作,4),绕三个立方轴转动,加中心反演, 6,个对称操作,5),绕,6,条面对角线轴转动,加上中心反演,正四面体的对称操作共有,24,个，包含在正方体中。, 6个对称操作4) 绕三个立方轴转动加中心反演,例,3,正六角柱的对称操作,1),绕中心轴线转动, 5,个, 3,个,3),绕相对面中心连线转动, 3,个,4),不变操作,5),以上,12,个对称操作加中心,反演仍是对称操作,正六面柱的对称操作有,24,个,2),绕对棱中点连线转动, 1,个,例3 正六角柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动 5个,对称素,对称素：是指一个物体的旋转轴或旋转,-,反演轴，其简洁明了地概括了一个物体的对称性。,n,重旋转轴：一个物体绕某一个转轴,2,/,n,以及它的倍数不变时，这个轴称为,n,重旋转轴，记作,n,。,n,重旋转,-,反演轴：一个物体绕某一个转轴,2,/,n,加上中心反演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时，这个轴称为,n,重旋转轴，记作 。,对称素对称素：是指一个物体的旋转轴或旋转-反演轴，其简洁明了,面对角线 为,2,重轴，计为,2,例,1,：,立方体,立方轴 为,4,重轴，计为,4,同时也是,4,重旋转反演轴，计为,同时也是,2,重旋转反演轴，计为,体对角线轴 为,3,重轴，计为,3,同时也是,3,重旋转反演轴，计为,面对角线 为2重轴，计为2例1： 立方体立方轴,例,2,：,正四面体,体对角线轴是,3,重轴,不是,3,重旋转反演轴,立方轴是,4,重旋转反演轴,不是,4,重轴,面对角线是,2,重旋转反演轴,不是,2,重轴,例2： 正四面体体对角线轴是3重轴立方轴是4重旋转反演轴,一个特殊的,对称素,：先绕轴转动,，再作中心反演,A”,点实际上是,A,点在通过中心垂直于转轴的平面,M,的镜像，即对称素 实际是个镜面操作，用 表示。,一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群,一个特殊的对称素 ：先绕轴转动，再作中心,对称操作群,群：代表一组“元素”的集合，,G,E, A ,B, C, D ,这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，并且满足下列性质,1),集合,G,中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素,若,A, B ,G,则,AB=C ,G.,叫作群的封闭性,2),存在单位元素,E,使得所有元素满足：,AE = A,3),对于任意元素,A,存在逆元素,A,-1,有：,AA,-1,=E,4),元素间的“乘法运算”满足结合律：,A(BC)=(AB)C,对称操作群群：代表一组“元素”的集合，G E, A,例,1,：正实数群,所有正实数,(0,除外,),的集合,例,2,：整数群,所有整数的集合,注意：,一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则为连续操作。,以普通乘法为运算法则，,1,为单位元素，,x,的逆为,1/x,。,以加法为运算法则。,一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群,例1：正实数群 所有正实数(0 除外)的集合例2：整数,1.,单位元素,不动操作,2.,任意元素的逆元素,绕转轴角度,，其逆操作为绕转轴角度,；中心反演的逆操作仍是中心反演；,3.,连续进行,A,和,B,操作,相当于,C,操作,A,操作,绕,OA,轴转动,/2,B,操作,绕,OC,轴转动,/2,S,上述操作中,S,和,O,没动，而,T,点转动到,T,点,相当于一个操作,C,：绕,OS,轴转动,2,/3,1. 单位元素 不动操作2. 任意元素的逆元素 ,上述操作中,S,和,O,没动，而,T,点转动到,T,点,相当于一个操作,C,：绕,OS,轴转动,2,/3,表示为,群的封闭性,可以证明,满足结合律,S,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点表示为 群的封闭,1.,已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为,58.46,，在室温下的密度是,2.167*10,3,kg,m,-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。,2.,硅、锗半导体材料具有金刚石结构，设其晶格常数为,a,。画出（,110,）面,二维格子的原胞，并给出它的基矢。,3.,对于六角密积结构的晶体，其原胞基矢为,试求,1.,倒格子基矢；,2.,晶面簇（,210,）的面间距。,4.,对于立方晶格，密勒指数为,(h,1,k,1,l,1,),和,(h,2,k,2,l,2,),的晶面族的两个平面之间的夹角余弦为,1.已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温,【1】,已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为,58.46,，在室温下的密度是,2.167*10,3,kg,m,-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。,【,解,】,固体密度,=Zm/V,，其中,V,是晶胞体积，,Z,是晶胞中的分子数，,m,为分子的质量。,每个分子的质量,m,为,于是得到,【1】已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室,宏观对称性与物理性质,晶体在几何外形上表现出明显的对称性，,对称性的性质也会在物理性质上得以体现。,介电常数表示为二阶张量,电位移,对于,立方对称的晶体,，其为对角张量,因此，介电常数可看作一个简单的标量,宏观对称性与物理性质晶体在几何外形上表现出明显的对称性，介电,晶体的宏观对称性课件,例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明,设对称操作对应的正交变换,且有,介电常数,在坐标变换下,例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明设对称操作对应,晶体的宏观对称性课件,例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明,设对称操作对应的正交变换,且有,介电常数,在坐标变换下,A,为对称变换,x,y,X,Y,绕,z,轴逆时针转,90,例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明设对称操作对应,对于立方晶体，选取对称操作,A,为绕,Z,轴旋转,/2,代入, 对于立方晶体，选取对称操作A为绕Z轴旋转/2代入,进一步选取对称操作,B,为绕,X,轴旋转,/2,，可得,最后得到,进一步选取对称操作B为绕X轴旋转/2，可得最后得到,对于,n,阶张量形式的物理量，系数用,n,阶张量表示,在坐标变换下,如果,A,为对称操作,这样可以简化,n,阶张量,对于n阶张量形式的物理量，系数用n阶张量表示在坐标变换下如果,六角对称晶体,，将坐标轴取在,六角轴和垂直于六角轴的平面,内介电常数具有如下形式,平行轴（六角轴）的分量,垂直于六角轴平面的分量,由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象,立方晶体的光学性质则是各向同性的,六角对称晶体，将坐标轴取在平行轴（六角轴）的分量垂直于六角,关键词,立方体、正四面体和正六角柱的对称操作,群的概念,关键词立方体、正四面体和正六角柱的对称操作,晶体的宏观对称性课件,