4-12中值定理洛必达法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三章,中值定理,与,导数应用,第一节 中值定理,一、罗尔,(,Rolle,),定理,二、拉格朗日,(Lagrange),中值定理,几何解释,:,一,问,题,：,如果函数,),(,x,f,在,b,a,上连续,在,),(,b,a,内,可导,且,),(,),(,b,f,a,f,=,函数,),(,x,f,的,图形,有,何,特,性,？,二,罗尔,(,（,R,0lle,）定理,如果函数,),(,x,f,在闭区间,b,a,上连续,在开区间,),(,b,a,内可导,且在区间端点的函数,值相等，即,),(,),(,b,f,a,f,=,那末在,),(,b,a,内至少有一点,),(,b,a,x,x,使得函数,),(,x,f,在该点的导数等于零，,即,0,),(,=,x,f,注意,:,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立,.,例如,2,-,2,;,2,2,-,=,x,x,y,例1,证,由介值定理,即为方程的小于,1,的正实根,.,矛盾,几何解释,:,三,.,若在罗尔定理的条件中去掉了,结论是否还立？,),(,),(,b,f,a,f,=,.,AB,C,AB,线平行于弦,在该点处的切,上至少有一点,在曲线弧,四,.,拉格朗日中值定理,拉格朗日（,Lagrange,）中值定理,如果函数,f,(,x,),在,闭区间,b,a,上连续,在开区间,),(,b,a,内可导,那末在,),(,b,a,内至少有一点,),(,b,a,x,x,，使等式,),)(,(,),(,),(,a,b,f,a,f,b,f,-,x,=,-,成立,.,拉格朗日中值定理又称,有限增量定理,.,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,微分中值定理,推论,1,例2,证,例3,证,由上式得,推论,2,如果函数,f,(,x,),与,g,(,x,),在区间,(,a,b,),内每,一点的导数都相等，则,f,(,x,),与,g,(,x,),在,(,a,b,),内,相差一个常数。即,f,(,x,)-,g,(,x,)=C,或,f,(,x,)=,g,(,x,)+C,(C,为常数,),五,.,小结,Rolle,定理,Lagrange,中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,.,拉格朗日中值定理,微分中值定理,作业,P73,第二节,洛必达法则,中值定理的特点,:,精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,.,函数,导数,中值定理,复习,中值定理,例如,型未定式,型及,0,0,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极,限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,.,定理,（洛必达法则）,型未定式,型及,一、,0,0,例1,解,例2,解,例,3,解,例4,解,原式,例5,解,=1,例6,解,sin,ln,sin,ln,lim,0,bx,ax,x,+,求,ax,b,bx,a,x,t,an,tan,lim,0,+,=,ax,ab,bx,ab,x,2,2,0,+,sec,sec,lim,=,bx,ax,x,2,2,0,+,cos,cos,lim,=,例,7,解,例,8,解：,例,9,解,关键,:,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,.,步骤,:,例,10,解1,步骤,:,例,10,解2,x,x,x,x,x,sin,sin,lim,0,-,=,原式,x,x,x,x,2,0,sin,lim,-,=,x,x,x,2,cos,1,lim,0,-,=,.,0,=,（,等价无穷小替换）,解,例,11,),1,1,1,2,(,lim,2,1,-,-,-,x,x,x,2,1,2,1,lim,1,-,=,-,=,x,x,),1,1,1,2,(,lim,2,1,-,-,-,x,x,x,1,1,lim,2,1,-,-,=,x,x,x,步骤,:,例,12,解,例1,3,解,例1,4,解,例1,5,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：,洛必达法则的使用条件,例16,显然,极限不存在,但,极限存在,三、小结,洛必达法则,作业,P88,