特征值与特征向量、二次型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,特征值、特征向量、二次型,特,征,值,定义,相,似,求,法,实对称阵隐含的信息,性,质,特征值,定义,特征多项式,特征向量,不同特征值的特征向量线性无关,k重特征值至多有k个线性无关的特征向量,概念,矩阵对角化,应用,显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.,一、特征值与特征向量,4.对角阵,5.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,一、矩阵的相似,3、,若 阶方阵A与对角阵 相似，,三、方阵对角化,3、,如果,n,阶矩阵,A,的,n,个特征值互不相等，则,A,与对角阵相似,4、如果A的特征方程有r重根,，而,没有r个线性无关的特征向量，则矩阵A不能对角化.,5、实对称阵一定能对角化.,一、正交矩阵,定义1,4、A为正交矩阵的充要条件是A的行、列向量组都是两两正交的单位向量,二、向量的内积,定义1,内积,定义2,正交,正交向量组：,非零向量组中的向量两两正交。,（1）,正交化,，,取,，,三、Schmidt正交化规范化过程,（2）,单位化,，取,施密特正交化过程,（2）,n,阶实对称矩阵有,n,个线性无关的特征向量,.,四、实对称矩阵隐含的信息,（3）,实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交,.,（4）,n,阶实对称矩阵有,n,个两两正交的单位特征向量,.,（,5）对于,n,阶实对称矩阵A，一定有正交阵T，对角阵D，使得,其中对角阵D对角线上的元素是T的各列所对应的特征值。,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化,为对角矩阵，其具体步骤,为：,将特征向量正交化,;,3.,将特征向量单位化.,4.,2.,1.,构造正交阵T.,5.,二次型与它的矩阵是一一对应的,n,元二次型,A与B,合同,：,，其中,C,可逆。,A,与,B,合同.,二次型,XAX,可经非退化线性替换化为二次型,YBY,定理,正交变换法化二次型为标准形,第一步 写出,f,的矩阵A,第二步 求A的特征值,第三步,并将属于,i,的特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,第五步 得到正交变换,X=TY,定义,正定二次型,正定性的相关结论,1),实二次型 正定,3）,非退化线性替换不改变二次型的正定性,.,秩,n,（的正惯性指数）.,2）,(定理,2,),n,元实二次型,正定,规范形为,4）,正定二次型 的标准形为,等价描述,：,实对称矩阵A正定,A与单位矩阵E合同,.,5）,实二次型XAX正定的,充分必要条件,是实对称阵A的特征值都是正数,。,6）,正定矩阵A的行列式大于0.,7）,二次型,是正定的,充分必要条件,是实对称矩阵 的各阶顺序主子式都大于0。,8）,二次型,是负定的,充分必要条件,是实对称矩阵 的奇数阶顺序主子式都小于0，而偶,数阶顺序主子式都大于0,。,解,