2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,空间点、直线、平面之间的位置关系,主要内容,2.1.2,空间中直线与直线之间的位置关系,2.1.3,空间中直线与平面之间的位置关系,2.1.1,平面,2.1.1,平 面,构成图形的基本元素,A,B,C,D,A,B,C,D,点、线、面,点无大小,线无粗细,面无厚薄,点,直线,平面,可无限延伸的,平面是可无限延展的,平面的表示,平面的画法,一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一,在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图,.,图一,图二,平面的符号表示,1.,希腊字母： 平面,， 平面，平面,2.,一个或几个拉丁字母： 平面,M,， 平面,AC,，,平面,ABCD,等,A,B,C,D,平面的表示,平面的表示,两个相交平面的画法和表示,平面,和平面,相交于一条直线,a,被遮住的部分画虚线,a,a,平面平面,=,直线,a,平面的表示,直线和平面都可以看成点的集合,“,点,P,在直线,l,上,”,“,点,A,在平面,内,”,用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系,“,点,P,在直线,l,外,”,“,点,A,在平面,外,”,直线,l,在平面,内，或者说平面,经过直线,l,直线,l,在平面,外,.,平面的基本性质,A,B,公理,1,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,.,思考,1,：如何让一条直线在一个平面内？,作用,：为判断直线与平面的位置关系提供依据,集合符号表示,平面经过这条直线,平面的基本性质,公理,2,过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面,.,思考,2,：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？,作用,：判断几个点共面或直线在同一个平面内,集合符号表示,A,B,C,“,不共线的三点确定一个平面”,已知,A,、,B,、,C,三点不共线，则存在惟一平面,，使得,A,、,B,、,C,平面的基本性质,思考,3,：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？,公理,3,如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,.,P,作用：判断两个平面位置关系的基本依据,例题,例,1,如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,.,A,B,a,l,(1),a,b,P,l,(2),解：,1,）,A,，,B,，,=,l,，,a=A,，,a=B,2) a,b,=,l,a,l,=P, b,l,=P, ab=P,例,2,：已知直线,a,，和点,P,，,P,a,，求证经过点,P,和直线,a,有且只有一个平面,.,P,a,探究问题,根据公理,1,探究直线与平面的各种位置关系,.,根据公理,2,探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性,.,根据公理,3,探究平面与平面的各种位置关系,.,小结,1.,平面的表示,：概念、图形、符号等,2.,平面的基本性质,公理,1,公理,2,公理,3,3.,判断共面的方法,作业,P43,练习,1,2,34,P51,习题,A,组,1,，,2,2.1.2,空间中直线与直线之间的位置关系,两条直线的位置关系,思考,1,：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？,C,1,）教室内,日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？,2,）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？,两条直线的位置关系,如图,长方体,ABCD-ABCD,中，线段,AB,所在直线分别与线段,CD,所在直线，线段,BC,所在直线，线段,CD,所在直线的位置关系如何,?,C,B,C,A,D,B,A,D,观察,两条直线的位置关系,定义,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,.,b,a,a,b,异面直线的图示,两条直线的位置关系,A.,空间中既不平行又不相交的两条直线；,B.,平面内的一条直线和这平面外的一条直线；,C.,分别在不同平面内的两条直线；,D.,不在同一个平面内的两条直线；,E.,不同在任何一个平面内的两条直线,.,关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？,问题,两条直线的位置关系,空间中的直线与直线之间有三种位置关系：,相交直线,:,平行直线,:,共面直线,异面直线：,不同在任何一个平面内，没有公共点,同一平面内，有且只有一个公共点；,同一平面内，没有公共点；,如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么,AB,，,CD,，,EF,，,GH,这四条线段所在直线是异面直线的有多少对,?,探究,F,A,H,G,E,D,C,B,C,D,B,A,E,F,G,H,直线,EF,和直线,HG,直线,AB,和直线,CD,直线,AB,和直线,HG,答：,3,对,平行直线,如图,在长方体,ABCD,ABCD,中, BBAA,，,DDAA,，那么,BB,与,DD,平行吗,?,C,B,C,A,D,B,A,D,观察,答：平行,平行直线,公理,4,平行于同一直线的两条直线互相平行,.,空间中的平行线具有传递性,如果,a/b,，,b/c,，那么,a/c,A,F,E,D,C,B,A,B,C,D,E,F,三条平行线共面,三条平行线不共面,平行直线,已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？,A,F,E,D,C,B,A,B,C,D,E,F,三条平行线共面,三条平行线不共面,问题,平行直线,例,2,如图，空间四边形,ABCD,中，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的中点,.,求证：四边形,EFGH,是平行四边形,.,F,G,D,A,E,B,C,H,所以,，且,同理,，且,因为,，且,所以 四边形,EFGH,是平行四边形,证明：连接,BD,，,因为,EH,是 的中位线，,在上例中，如果再加上条件,AC=BD,，那么四边形,EFGH,是什么图形？,探究,答：四边形,EFGH,是菱形,F,G,D,A,E,B,C,H,等角定理,在平面上，我们容易证明,“,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补,”,空间中，结论是否仍然成立？,思考,1,如图,四棱柱,ABCD-ABCD,的底面是平行四边形，,ADC,与,ADC, ADC,与,BAD,的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何,?,思考,2:,B,A,D,C,A,B,D,C,B,A,D,C,A,B,D,C,ADC=ADC,ADC+BAD=180,0,如图，在空间中,AB/ AB,，,AC/ AC,，你能证明,BAC,与,BAC,相等吗？,思考,3,B,C,A,B,C,A,E,E,D,D,等角定理,定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,.,等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且,方向相同,，那么这两个角相等,.,异面直线所成的角,a,b,思考,在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角,.,在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？,a,b,平面内两条相交直线,空间中两条异面直线,O,异面直线所成的角,已知两条异面直线,a,，,b,，经过空间任一点,O,作直线 ，把 与 所成的锐角（或直角）叫做,异面直线,a,与,b,所成的角,O,异面直线所成的角,我们规定两条平行直线的夹角为,0,，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？,如果两条异面直线所成角为,90,0,，那么这两条直线垂直,.,探究,记直线,a,垂直于,b,为：,a,b,异面直线所成的角,探究,（,1,）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？,（,2,）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？,（,3,）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,如：,等,垂直,不一定，如上图的立方体中,直线,AB,与,BC,相交，,异面直线所成的角,例,3,已知正方体 ,（,1,）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？,（,2,）直线 和 的夹角是多少？,（,3,）哪些棱所在的直线与直线 垂直？,解,:,（,1,）由异面直线的定义可知，,棱 所在的直线分别与直线 是异面直线,（,3,）直线,分别与直线 垂直,（,2,）由 可知，,为,异面直线 与 的夹角， ，,所以 与 的夹角为 ,在如图所示的长方体中，,AB=,，且,AA,1,=1,，求直线,BA,1,和,CD,所成角的度数,.,30,O,练习,1,如图，在四面体,ABCD,中，,E,，,F,分别是棱,AD,，,BC,上的点,且 ，已知,AB=CD=3,，,求异面直线,AB,和,CD,所成的角,.,A,F,E,D,C,B,练习,2,n,直线相交最多有几个交点？,练习,3,本节小结,（,1,）空间直线的三种位置关系,（,2,）平行线的传递性,（,3,）等角定理,（,4,）异面直线所成的角,基本知识,基本方法,把空间中问题通过平移转化为平面问题,.,作业,P48,练习,1,，,2,P51 -52,习题,2.1 A,组,3,，,4(1)(2)(3)(6),，,5,，,6,，,B,组,1,2.1.3,空间中直线与平面之间的位置关系,主要内容,直线与平面的位置关系,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行,直线与平面,思考？,1,）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？,2,）如图，线段,A,B,所在直线与长方体,ABCD-A,B,C,D,的六个面所在平面有几种位置关系？,C,B,C,A,D,B,A,D,直线与平面,直线和平面的位置关系有且只有三种,(1),直线在平面内,有无数个公共点,a,记为：,a,直线与平面,(2),直线与平面相交,有且只有一个公共点,a,记为：,a,=A,A,直线与平面,（,3,）直线与平面平行,没有公共点,a,记为：,a,/,直线与平面,直线与平面相交或平行的情况统称为,直线在平面外,记为：,a,a,a,/,a,a,=A,A,或,直线与平面,例,1.,下列命题中正确的个数是,( ),1,）若直线,l,上有无数个点不在平面,内，则,l,/,2),若直线,l,与平面,平行，则,l,与平面,内的任意一条直线都平行,3,）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行,4,）若直线,l,与平面,平行，则,l,与平面,内的任意一条直线都没有公共点,.,(A,）,0 (B) 1 (C) 2 (D) 3,B,主要内容,直线与平面的位置关系,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行,作业,P49,练习,P51-53,习题,2.1A,组,4(4)(5) B 2,，,3,平面与平面之间的位置关系,2.1.4,平面与平面之间的位置关系,思考,（,1,）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？,（,2,）如图，围成长方体,ABCD-A,B,C,D,的六个面，两两之间的位置关系有几种？,C,B,C,A,D,B,A,D,两个平面的位置关系,两个平面的位置关系,有且只有,两种,两个平面平行,没有公共点,两个平面相交,有一条公共直线,分类的依据是什么？,公理,3,如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,.,两个平面平行或相交的,画法及表示,/,m,=m,已知平面 ，直线,a,、,b,，且,/,，,a,，,b,，则直线,a,与直线,b,具有怎样的位置关系？,探究,1,a,b,答：平行或异面,探究,2,a,b,l,b,a,l,相交于一条交线,三条交线,三条交线,如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论,.,一个平面可以把空间分成几个部分？,两个平面可以把空间分成几个部分？,三个平面可以把空间分成几个部分？,探究,3,小结,平面与平面的位置关系,平面与平面相交,平面与平面平行,作业,P50,练习,P52,习题,2.1 A,组,7,，,8,