高等代数选讲第三讲-线性空间课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第三讲 线性空间,一、线性空间的定义,二、向量的线性相关性,三、线性空间的维数、基与坐标,1第三讲 线性空间一、线性空间的定义二、向量的线性相关性三、,2,目录 下页 返回 结束,一、线性空间的定义,设,V,是一个非空集合，,P,是一个数域，在集合,V,中,定义了一种代数运算，叫做,加法,：即,对，,在,V,中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的,和,，记为 ；在,P,与,V,的元素之间还,定义了一种运算，叫做,数量乘法,：即,在,V,中都存在唯一的一个元素,与它们对应，称,为,的,数量乘积,，记为 如果加法和数量乘,法还满足下述规则，则称,V,为数域,P,上的,线性空间,.,2目录 下页 返回 结束 一、线性空间的定义设V,3,加法满足下列四条规则：,(1),（具有这个性质的元素,0,称为,V,的,零元素,）,(2),(4),对,都有,V,中的一个元素,，使得,（,称为 的,负元素,）,(3),在,V,中有一个元素,0,，对,3加法满足下列四条规则：(1)（具有这个性质的元素0称为,4,(5),(6),数量乘法与加法满足下列两条规则：,(7),数量乘法满足下列两条规则,:,(8),4(5)(6)数量乘法与加法满足下列两条规则：(7),5,欧氏几何的公理,公理,1,：任两点必可用直线相连,.,公理,2,：直线可以任意延长,.,公理,3,：可以以任意一点为圆心,任意长度为半径画圆,.,公理,4,：所有直角都相同,.,公里,5,：过线外一点,恰有一条直线与已知直线平行,.,5欧氏几何的公理,6,3,线性空间的判定：,注意,1,凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为,2,线性空间的元素也称为,向量,，线性空间也称,向量空间,但这里的向量不一定是有序数组,线性运算,就不能构成线性空间,运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合,若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者,63线性空间的判定：注意1 凡满足以上八条规则的加法及数,7,例,1,P,n,P,x,均为数域,P,上的线性空间,例,2,数域,P,上的次数小于,n,的多项式的全体，再添,法构成数域,P,上的一个线性空间，常用,P,x,n,表示,上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘,7例1Pn,Px 均为数域 P上的线性空间例2数,8,即线性空间的构造如何？,怎样才能便于运算？,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？,这些元素之间的关系又如何呢？,（基的问题）,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？,（坐标问题）,8即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题如何把线性空,9,二、向量的线性相关性,设,V,是数域,P,上的一个线性空间，,（,1,）,和式,的一个,线性组合,称为向量组,（,2,）,，若存在,则称向量 可经向量组,线性表出,；,使,9二、向量的线性相关性设V 是数域 P 上的一个线性空间，（,10,若向量组 中每一向量皆可经向量组,线性表出，则称向量组,可经向量组,线性表出,；,若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组,为,等价,(equivalent),的,10若向量组 中每一向量皆可经向量组 线性表出，则,11,（,4,）,如果向量组 不是线性相关,的，即,只有在时才成立，,则称,为,线性无关（,independent,）,则称向量组为,线性相关,（,dependent,）,；,，使得,（,3,）,，若存在不全为零的数,11（4）如果向量组 不是线性相关的，即只有在,12,（,1,）,单个向量 线性相关,单个向量 线性无关,向量组,线性相关,中有一个向量可经其余向量,线性表出,2、有关结论,12（1）单个向量 线性相关 单个向量 线性无关 向量组,13,（,2,）,若向量组线性无关，且可被,向量组 线性表出，则,若 与 为两线性无关的,等价向量组，则,（,3,）,若向量组线性无关，但向量组,线性相关，则 可被向量组,线性表出，且表法是唯一的,13（2）若向量组线性无关，且可被向量组,14,例,3,设向量组,线性无关，而向量组,线性相关，,证明：若向量组,与,不等价，则,与,中有且仅有一个可由向量组,线性表示。,14例3 设向量组 线性无关，而向量组,15,因为对任意的正整数,n,，都有,n,个线性无关的,1,、无限维线性空间,若线性空间,V,中可以找到任意多个线性无关的向量，,则称,V,是,无限维（,infinite dimension,）线性空间,例,1,所有实系数多项式所成的线性空间,R,x,是无限,维的,.,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,三、线性空间的维数、基与坐标,15因为对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的1、无限维,16,2,、有限维线性空间,n,维线性空间,；常记作,dimV,n,.,（,1,）,n,维线性空间,若在线性空间,V,中有,n,个线性无关的向量，但是,任意,n,1,个向量都是线性相关的，则称,V,是一个,注意,零空间的维数定义为,0,.,162、有限维线性空间 n 维线性空间；常记作 dimV,17,在,n,维线性空间,V,中，,n,个线性无关的向量,（,2,）,基,，称为,V,的一组,基（,basis,）,；,下的,坐标（,coordinate,）,，记为,（,3,）,坐标,设,为线性空间,V,的一组基，,则数组，就称为,在基,若,17在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量,18,有时也形式地记作,注意,向量,的坐标,是被向量,和基,唯一确定的即向量,在基下的坐标唯一的,.,但是，在不同基下的坐标一般是,不同的,18有时也形式地记作 注意向量 的坐标 是被向量 和基,19,3,、线性空间的基与维数的确定,定理,若线性空间,V,中的向量组 满足,(),线性无关；,(),可经 线性表出,则,V,为,n,维线性空间，为,V,的一组基,证：,V,的维数,至少为,n,线性无关，,193、线性空间的基与维数的确定定理 若线性空间V中的向量,20,任取,V,中,n,1,个向量 ，,由,),，向量组,若是线性无关的，则,n,1,n,，矛盾,线性表出,.,V,中任意,n,1,个向量是线性相关的,故，,V,是,n,维的，就是,V,的一组基,可用向量组,20任取V中 n1个向量 ，由)，,21,例,2,3,维几何空间,R,3,是,R,3,的一组基；,也是,R,3,的一组基,一般地，向量空间,为,n,维的，,就是,P,n,的一组基称为,P,n,的,标准基,.,21例23 维几何空间R3 是R3的一组基；也是R3的,22,1.,n,维线性空间,V,的基不是唯一的，,V,中任意,n,个,2.,任意两组基向量是等价的,注意,线性无关的向量都是,V,的一组基,221.n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个,23,例,3,（,1,）证明：线性空间,P,x,n,是,n,维的，且,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,为,P,x,n,的一组基,证,:,首先，,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,是线性无关的,其次，,可经,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,线性表出,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,为,P,x,n,的一组基，,从而，,P,x,n,是,n,维的,.,23例3（1）证明：线性空间Pxn是n 维的，且1，x,24,注意,在基,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,下的坐标就是,此时，,24注意在基1，x，x2，xn1下的坐标就是此时，,25,（,2,）证明：,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,也为,P,x,n,的一组基,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,是线性无关的,证,:,又对,，按泰勒展开公式有,即,f,(,x,),可经,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,线性表出,.,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,为,P,x,n,的一组基,25（2）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n,26,在基,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,下的坐标是,注意,此时，,26在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐,