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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学方法论,甘肃省白银市平川区红会学校 李崇山,前言,在数学中存在着各种各样的矛盾，如正与负，有理数与无理数，有限与无限，连续与离散，积分与微分等等。整个的数学发展史，贯穿着矛盾的斗争与解放。而当矛盾达到白热化以至于影响数学基础时，就产生了,数学危机,。,悖论在数学基础理论中出现，就是矛盾出现白热化，从而冲击了人们的传统观念，引起了普遍的危机感。,第三章 数 学 悖 论 与 数 学 危 机,第二节 数 学 危 机,本节内容摘要：,一、数学危机的定义；,二、数学史上的三大危机；,三、三大数学危机的产生；,四、三大危机的产物。,一、数学危机的定义,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。,从哲学上看，矛盾无处不在，不可避免！,在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。,危机产生、解决、又产生、有解决,循环往复的过程不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想重要发展的过程。,所谓,数学危机,，是源自那些威胁到整个数学基础的矛盾，或者说是对数学基础理论的一种普遍危机感,。,二、数学史上的三大危机,1,、“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学 危机；,2,、“贝克莱悖论”与第二次数学危机；,3,、集合论悖论与第三次数学危机。,三、第一次数学危机,由于毕达哥拉斯的学生在数学上的一个重要的发现，提出当正方形的边长为,1,时，其对角线的长不是一个整数，也不是一个分数，而是一个新的数，这个就是我们现在所熟悉的无理数。这个发现不但对其学派是一个致命的打击，也是对当时所有古希腊人的观念都是一个极大地冲击，这在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，产生了极度的思想混乱，史称“第一次数学危机。”,第二次数学危机（,1,）,在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作后很不完善，因而，导致许多人都批评。抨击最有力的为爱尔兰助教贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。,如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，说法不一，十分含糊，有时是零，有时不是零而是有限的小量；莱布尼茨也不能自圆其说。,第二次数学危机（,2,）,贝克莱对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的，他揭示了早期微积分的逻辑漏洞。然而在当时，微积分理论由于在实践与应用中取得了成功，已经使得大部分数学家对它的可靠性表示信赖，相信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。因此，贝克莱所阐述的问题被称为是悖论，即著名的贝克莱悖论。,由于这一悖论，十分有效的揭示了微积分基础中包含着逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，一场新的风波由此掀起，史称第二次数学危机。,第三次数学危机,19,世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，并获得广泛而高度的赞誉。,1903,年，英国逻辑学家、哲学家罗素宣布：集合论是自相矛盾的，没有相容性！这就是罗素在集合中发现的矛盾，数学史家称之为罗素悖论。由于这一新的发现，使刚刚平静的数学界又掀起“轩然大波”。,集合论悖论的出现引起了数学界的争论，同时又伴随了尖锐的哲学思想的争论。这就是一般称作的第三次数学危机。,四、三大危机的产物,第一次数学危机的产物,公理几何与逻辑的诞生；,第二次数学危机的产物,分析基础理论的完善与集合论的创立；,第三次数学危机的产物,数学逻辑的发展与一批现代数学的产生。,内容总结,本节简单的介绍了,数学史上由于数学悖论而导致的三大数学危机与渡过,，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。他对数学说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生：,第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数学逻辑的发展与一批现代数学的产生。,
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