高数微积分中值定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微分中值定理与导数的应用,第 3 章,第一节 中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,1.函数极值的定义,定义:,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,注：,（1）极值的概念是局部性的,（2）有的极大值可能比极小值还小,（3）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处,导数为零。,但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得,极值，例如图中的 点处,2.,费马(fermat)引理,且,存在,证:,设,则,证毕,存在,3.,驻点,：导数等于零的点。,注,：（1,）极值点要么是驻点，要么是不可导点,（2）驻点不一定是极值点,费马引理的几何意义：,一、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,例如,证,注意:,定理条件不全具备,结论不一定成立.,例如,例,证,(1),(2),验证,定理的假设条件满足,验证,结论正确,验证罗尔定理的正确性.,罗尔定理肯定了,的存在性,一般没必要知道,究竟等于什么数,只要知道 存在即可.,13,例,试证方程,分析,注意到:,14,证,设,且,罗尔定理,即,试证方程,例,证:,由,介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦,AB,方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量,与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称,有限增量定理,.,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,微分中值定理,推论,证:,在,I,上任取两点,氏中值公式,得,由 的任意性知,在,I,上为常数.,例,证,自证:,经验:,欲证,时,只需证在,I,上,例.,证明不等式,证:,设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,或,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,分析:,要证,证:,作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考:,柯西定理的下述证法对吗?,两个,不,一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：,例：,证：,分析:,结论可变形为,罗尔,定理,拉格朗日,中值定理,柯西,中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(,Lagrange),中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件,都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,应用三个中值定理常解决下列问题,(1)验证定理的正确性;,(2)证明方程根的存在性;,(3)引入辅助函数证明等式;,(4)证明不等式;,(5)综合运用中值定理(几次运用).,关键 逆向思维,找辅助函数（原函数）,例,分析,将结论交叉相乘得,辅助函数,F,(,x,),试证明:,或将结论交叉相乘得,换成,辅助函数,F,(,x,),证,设辅助函数,因此,F,(,x,)满足Rolle定理的条件.,即,得,证毕.,练习,分析,即证,要证,证明:,对任意的实数,k,设,f,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内可导,且,证,即,证明:,对任意的实数,k,设,f,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内可导,且,由Rolle定理,试证必存在,设函数,f,(,x,)在0,3上连续,在(0,3)内可导,证,因为,f,(,x,)在0,3上连续,且在0,2上必有最大值,M,和最小值,m,于是,故,由介值定理知,至少存在一点,使,所以,f,(,x,)在0,2上连续,因为,且,f,(,x,)在,c,3上连续,在(,c,3)内可导,所以由Rolle定理知,必存在,以下4题目较难,试证:存在,设函数,f,(,x,),g,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内,证,设,f,(,x,),g,(,x,)在(,a,b,)内最大值,M,分别在,取得.,由零点定理,至少介于,使得,具有二阶导数且存在相等的最大值,令,则,因此由罗尔定理,存在,使得,再由罗尔定理,存在,使得,即,(1)证明拉格朗日中值定理:若函数,f,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内可导,则存在,(2)证明:,证(1),取,由题意知,F,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内可导,且,由Rolle定理,即,(2)证明:,证(2),对于任意的,函数,f,(,x,)在0,t,上,由右导数定义及拉格朗日中,上连续,在(0,t,)内可导,值定理,所以,例.,试证至少存在一点,使,证:,法1,用柯西中值定理.,则,f,(,x,),g,(,x,)在 1,e,上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例.,试证至少存在一点,使,法2,令,则,f,(,x,)在 1,e,上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:,利用逆向思维,（找原函数）,设,辅助函数,费马引理,思考题,反例,