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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,课件,*,第五章 留数,1,孤立奇点,函数不解析的点为,奇点,.如果函数,f,(,z,)虽在,z,0,不解析,但在,z,0,的某一个去心邻域0|,z,-,z,0,|,d,内处处解析,则,z,0,称为,f,(,z,)的,孤立奇点,.,1,课件,第五章 留数1 孤立奇点 函数不解析的点为奇,将函数,f,(,z,)在它的孤立奇点,z,0,的去心邻域0|,z,-,z,0,|,d,内展开成洛朗级数.根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.,可去奇点,如果在洛朗级数中不含,z,-,z,0,的负幂项,则孤,立奇点,z,0,称为,f,(,z,)的可去奇点.,这时,f,(,z,)=,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,n,(,z,-,z,0,),n,+.0|,z,-,z,0,|,d ,则在圆域|,z,-,z,0,|,d,内就有,f,(,z,)=,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,n,(,z,-,z,0,),n,+.,从而函数,f,(,z,)在,z,0,就成为解析的了.所以,z,0,称为可去奇点.,2,课件,将函数 f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0|z,3,课件,3课件,2.极点,如果在洛朗级数中只有有限多个,z,-,z,0,的负幂项,且其中关于(,z,-,z,0,),-,1,的最高幂为(,z,-,z,0,),-,m,即,f,(,z,)=,c,-,m,(,z,-,z,0,),-,m,+.+,c,-,2,(,z,-,z,0,),-,2,+,c,-,1,(,z,-,z,0,),-,1,+,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.,(,m,1,c,-,m,0),则孤立奇点,z,0,称为函数,f,(,z,)的,m,级极点,.,上式也可写成,其中,g,(,z,)=,c,-,m,+,c,-,m,+1,(,z,-,z,0,)+,c,-,m,+2,(,z,-,z,0,),2,+.,在|,z,-,z,0,|,d,内是解析的函数,且,g,(,z,0,),0.,反过来,当任何一个函数,f,(,z,)能表示为(*)的形式,且,g,(,z,0,),0 时,则,z,0,是,f,(,z,)的,m,级极点.,4,课件,2.极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,如果,z,0,为,f,(,z,)的极点,由(*)式,就有,3.本性奇点,如果在洛朗级数中含有无穷多,z,-,z,0,的负幂项,则孤立奇点,z,0,称为,f,(,z,)的,本性奇点,.,5,课件,如果z0为 f(z)的极点,由(*)式,就有3.本性,综上所述:,我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.,6,课件,综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型,4.函数的零点与极点的关系,不恒等于零的解析函数,f,(,z,)如果能表示成,f,(,z,)=(,z,-,z,0,),m,j,(,z,),其中,j,(,z,)在,z,0,解析且,j,(,z,0,),0,m,为某一正整数,则,z,0,称为,f,(,z,)的,m,级零点,.,例如当,f,(,z,)=,z,(,z,-,1),3,时,z,=0与,z,=1是它的一级与三级零点.,根据这个定义,我们可以得到以下结论:如,f,(,z,)在,z,0,解析,则,z,0,是,f,(,z,)的,m,级零点的充要条件是,f,(,n,),(,z,0,)=0,(,n,=0,1,2,.,m,-,1),f,(,m,),(,z,0,)0.,7,课件,4.函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数,这是因为,如果,f,(,z,)在,z,0,解析,就必能在,z,0,的邻域展开为泰勒级数:,f,(,z,)=,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,m,(,z,-,z,0,),m,+，易证,z,0,是,f,(,z,)的,m,级零点的充要条件是前,m,项系数,c,0,=,c,1,=.=,c,m,-,1,=0,c,m,0,这等价于,f,(,n,),(,z,0,)=0,(,n,=0,1,2,.,m,-,1),f,(,m,),(,z,0,)0 。,例如,z,=1是,f,(,z,)=,z,3,-,1的零点,由于,f,(1)=3,z,2,|,z,=1,=3,0,从而知,z,=1是,f,(,z,)的一级零点.,由于,f,(,z,)=(,z,-,z,0,),m,j,(,z,)中的,j,(,z,)在,z,0,解析,且,j,(,z,0,),0,因而它在,z,0,的邻域内不为零.这是因为,j,(,z,)在,z,0,解析,必在,z,0,连续,所以给定,8,课件,这是因为,如果 f(z)在z0解析,就,所以,f,(,z,)=(,z,-,z,0,),m,j,(,z,)在,z,0,的去心邻域内不为零,即不恒,为零的解析函数的零点是孤立的.,定理,如果,z,0,是,f,(,z,),的,m,级极点,则,z,0,就是 的,m,级零点,反过来也成立,.,这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.,9,课件,所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不,例 2,10,课件,例 2 10课件,例 3,对 讨论函数 在 处的性态。,11,课件,例 3对 讨论函数,5.函数在无穷远点的性态,如果函数,f,(,z,)在无穷远点,z,=,的去心邻域,R,|,z,|内解析,称点为,f,(,z,)的孤立奇点.,作变换,把扩充,z,平面上,的去心邻域,R,|,z,|+,映射成扩充,w,平面上原点的去心邻域,：,又 .这样,我们可把在去心邻域,R,|,z,|+,对,f,(,z,)的研究变为在 内对,j,(,w,)的研究.显然,j,(,w,)在 内解析,所以,w,=0是孤立奇点.,f,(,z,)在无穷远点,z,=,的奇点类型,等价于,j,(,w,)在,w=0,的奇点类型。,12,课件,5.函数在无穷远点的性态 如果函数 f(z)在无穷远点,即,z,=,是,f,(,z,)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极限,是否存在(有限值),为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.,例题1,例题2,例题3,13,课件,即z=是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极,2,留数,留数的定义及留数定理,如果函数,f,(,z,)在,z,0,的邻域D内,解析,那末根据柯西积分定理,但是,如果,z,0,为,f,(,z,)的一个孤立奇点,则沿在,z,0,的某个去心邻域 0|,z,-,z,0,|,R,内包含,z,0,的任意一条正向简单闭曲线,C,的积分,一般就不等于零.,因此,f,(,z,)=.+,c,-,n,(,z,-,z,0,),-,n,+.+,c,-,1,(,z,-,z,0,),-,1,+,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.+,c,n,(,z,-,z,0,),n,+.0|,z,-,z,0,|,R,两端沿,C,逐项积分:,14,课件,2 留数留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的,称,C,-,1,为,f,(,z,)在,z,0,的留数,记作 Res,f,(,z,),z,0,即,定理一(留数定理),设函数,f,(,z,)在区域,D,内除有限个孤立奇点,z,1,z,2,.,z,n,外处处解析.,C,是,D,内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,D,z,1,z,2,z,3,z,n,C,1,C,2,C,3,C,n,C,15,课件,称C-1为 f(z)在 z0 的留数,记作 Res f,证,把在,C,内的孤立奇点,z,k,(,k,=1,2,.,n,)用互不包含的正,向简单闭曲线,C,k,围绕起来,则根据复合闭路定理有,注意定理中的条件要满足。例如,不能应用留数定理。,16,课件,证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用,求函数在孤立奇点,z,0,处的留数即求它在洛朗级数中,(,z,-,z,0,),-,1,项的系数,c,-,1,即可.但如果知道奇点的类型,对,求留数可能更有利.,如果,z,0,是,f,(,z,)的可去奇点,则 Res,f,(,z,),z,0,=0.如果,z,0,是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果,z,0,是,极点,则有一些对求,c,-,1,有用的规则.,17,课件,求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中,2.留数的计算规则,规则1,如果,z,0,为,f,(z)的一级极点,则,规则2,如果,z,0,为,f,(z)的,m,级极点,则,事实上,由于,f,(,z,)=,c,-,m,(,z,-,z,0,),-,m,+.+,c,-,2,(,z,-,z,0,),-,2,+,c,-,1,(,z,-,z,0,),-,1,+,c,0,+,c,1,(,z,-,z,0,)+.,(,z,-,z,0,),m,f,(,z,)=,c,-,m,+,c,-,m,+1,(,z,-,z,0,)+.+,c,-,1,(,z,-,z,0,),m,-,1,+,c,0,(,z,-,z,0,),m,+.,18,课件,2.留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z),令两端,z,z,0,右端的极限是(,m,-,1)!,c,-,1,两端除以(,m,-,1)!,就是Res,f,(,z,),z,0,即得,规则2,当,m,=1时就是,规则1。,19,课件,令两端 zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除,即得,规则,3,。,20,课件,即得 规则3。20课件,由规则1,得,我们也可以用规则3来求留数:,这比用规则1要简单些.,21,课件,由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:这比用规则1要简单,22,课件,22课件,23,课件,23课件,例 5,解：,所以 原式=,例 4,解：,z=0为一级极点。,24,课件,例 5 解：所以 原式=例 4 解：z=0为一级极点。2,3.在无穷远点的留数,设函数,f,(,z,)在圆环域,R,|,z,|,内解析,C,为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分,的值与,C,无关,称其为,f,(,z,)在,点的留数,记作,f,(,z,)在圆环域,R,|,z,|,内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。,25,课件,3.在无穷远点的留数 设函数 f(z)在圆环域 R|z,这就是说,f,(,z,)在点的留数等于它在点的去心邻域,R,|,z,|+内洛朗展开式中,z,-,1,的系数变号.,26,课件,这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的,定理二,如果,f,(,z,)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末,f,(,z,)在所有各奇点(包括,点)的留数总和必等于零.,证,：除点外,设,f,(,z,)的有限个奇点为,z,k,(,k,=1,2,.,n,).且,C,为一条绕原点的并将,z,k,(,k,=1,2,.,n,)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有,27,课件,定理二 如果 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,28,课件,28课件,所以规则4 成立.,29,课件,所以规则4 成立.29课件,定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.,例 6,30,课件,定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,31,课件,31课件,证明：,32,课件,证明：32课件,
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