资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章 参数估计,1,参数估,计问题,假设检,验问题,点 估 计,区间估 计,统计,推断,的,基本,问题,2,什么是参数估计？,参数,是刻画总体某方面的概率特性的数量,.,当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个,样本，用某种方法对这个未知参数进行估计,就是,参数估计,.,例如，,X N,(,2,),点估计,区间估计,若,2,未知，通过构造样本的函数,给出它,们的估计值或取值范围就是参数估计的内容,.,3,参数估计的类型,点估计,估计未知参数的值,区间估计,估计未知参数的取值范围，,使得这个范围包含未知参数,真值的概率为给定的值,.,4,一、点估计的思想方法,设总体,X,的分布函数的形式已知，但它含有,一个或多个未知参数：,1,2,k,设,X,1,X,2,X,n,为总体的一个样本,构造,k,个统计量：,随机变量,第一节 参数的点估计,5,当测得一组样本值,(,x,1,x,2,x,n,),时，代入上述,统计量，即可得到,k,个数：,数值,称数,为未知参数,的,估计值,问题,如何构造统计量？,对应的统计量,为未知参数,的,估计量,6,1,、矩方法；（,矩估计,）,2,、极大似然函数法（,极大似然估计,）,.,二,.,点估计的方法,1.,矩方法,方法,用,样本的,k,阶矩作为总体的,k,阶矩,的 估计量,建立含待估计参数的方程,，从而可解出待估计参数,7,一般地，不论总体服从什么分布，总体期望,与方差,2,存在，则根据矩估计法它们的,矩估计量,分别为,注,:,矩估计不唯一,8,事实上，按矩法原理，令,9,设待估计的参数为,设,总体的,r,阶矩,存在，记为,设,X,1,X,2,X,n,为一样本，,样本的,r,阶矩,为,令,含未知参数,1,2,k,的方程组,10,解方程组，得,k,个统计量：,未知参数,1,2,k,的,矩估计量,未知参数,1,2,k,的,矩估计值,代入一组样本值得,k,个数,:,11,例,1,有一批零件，其长度,XN,(,2,),，现从中任取,4,件，测的长度,(,单位：,mm),为,12.6,13.4,12.8,13.2,。试估计,和,2,的值。,解：,由,得,和,2,的估计值分别为,13(mm),和,0.133(mm),2,12,例,2,设总体,X,的概率密度为,X,1,X,2,X,n,为来自于总体,X,的样本,x,1,x,2,x,n,为样本值,求参数,的矩估计。,解：,先求总体矩,13,为,的矩估计量,为,的矩估计值,.,令,14,例,3,设总体,X,的概率密度为,求,的矩估计量,解法一,虽然 中仅含有一个参数,，但因,不含,不能由此解出,需继续求总体的二阶原点矩,15,解法二,即,用,替换,即得,的另一矩估计量为,得,的矩估计量为,用,替换,即,16,矩估计的优点,不依赖总体的分布，简便易行,只要,n,充分大，精确度也很高。,矩估计的缺点,矩估计的精度较差；,要求总体的某个,k,阶矩存在；,要求未知参数能写为总体的原点矩的函数形式,17,注意,：,1.,总体不一定存在适当阶的矩。,例 考虑,Cauchy,分布，其密度函数为,其各阶矩均不存在。,2.,对相同的参数 ，存在多个矩估计。,例如，考虑总体是参数为 的,Poisson,分布，,18,你就会想,只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率,.,看来这一枪是猎人射中的,.,先看一个简单的例子,:,某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过,.,只听到一声枪响,野兔应声倒下,.,如果要你推测,是谁打中的呢？你会如何想呢？,这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想,.,2,、极大似然函数法,19,例,:,设袋中装有许多白球和黑球。只知两种球的数目之比为,3:1,，试判断是白球多还是黑球多。,分析,:,从袋中有放回的任取,3,只球,.,设每次取到黑球的概率为,p,(,p,=1/4,或,3/4),设取到黑球的数目为,X,则,X,服从,B(3,p),分别计算,p=1/4,p=3/4,时，,PX=x,的值，列于表,结论,:,X,0,1,2,3,p=1/4,时,27/64,27/64,9/64,1/64,p=3/4,时,1/64,9/64,27/64,27/64,定义,1,:(1),设随机变量,X,的概率密度函数为,f(x,),其中为未知参数,(f,为已知函数,).,若,X,是离散型随机变量，似然函数定义为,称 为,X,关于样本观察值 的,似然函数,。,22,的样本观察值,为样本,定义,2,如果,似然函数,在,时达到最大值,则称 是,参数,的,极大似然估计,。,例,1,设总体,X,服从参数为,的指数分布，即有概率密度,又,x,1,x,2,x,n,为来自于总体的样本值，试求,的极大似然估计,.,23,解,：第一步 似然函数为,于是,第二步,第三步,经验证，,在,处达到最大，所以,是,的极大似然估计,。,令,24,例,2,：设,X,服从,(0,1),分布，,PX=1=p,其中,p,未知，,x,1,x,2,x,n,为来自于总体的样本值求,p,的极大似然估计。,解,:,X,0,1,P,1-p,p,得,(0,1),分布之分布律的另一种表达形式,25,令,例,3,：,设总体,X,服从参数为,的泊松分布，即,X,有分布列,(,分布律,),是未知参数，,(0,+,),，试求,的极大似然估计。,解：,样本的似然函数为,27,从,可以解出,是,的极大似然估计,。,因此,28,极大似然估计的优点,利用了分布函数形式,得到的估计量的精度一般较高。,极大似然估计的缺点,要求必须知道总体的分布函数形式,29,其中,为未知参数，,若总体,X,的概率密度为：,为样本观察值,此时似然函数为：,求解方程组,即可得到极大似然估计,多参数情形的极大似然估计,30,数学上可以严格证明，在一定条件下，只要样本容量,n,足够大，极大似然估计和未知参数的真值可相差任意小。,31,例,4,：设 为正态总体 的一个样本值，,求,:,和 的极大似然估计,.,解,：似然函数为,32,解方程组,得,这就是,和,的极大似然估计,即,33,例,5,设,X,为离散型随机变量,其分布律如下,(,0,1/2,),X,0,1,2,3,P,2,2(,-,2,),2,1-2,随机抽样得,3,，,1,，,3,，,0,，,3,，,1,，,2,，,3,，分别用矩方法和极大似然法估计参数,。,解,：,例,6,设总体,X,的概率密度为,又,为来自于总体,X,的样本值,求参数,的极大似然估计。,解,：,令,似然函数为,:,35,
展开阅读全文