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单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四节 控制系统根轨迹的绘制,11/19/2024,1,第四节 控制系统根轨迹的绘制8/1/20231,前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则(性质),这里将,手工绘制控制系统根轨迹,的步骤罗列如下:,标注开环极点“”和零点“”;,画出n-m条渐进线。其与实轴的交点(称为重心)和倾角分别为:,确定实轴上的根迹区间;,计算极点处的出射角和零点处入射角:,11/19/2024,2,前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则(性,计算根轨迹和虚轴的交点;,计算会合点和分离点:,利用前几步得到的信息绘制根轨迹。,注意:,后两步可能不存在;,在判断大致形状时,需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。,11/19/2024,3,计算根轨迹和虚轴的交点;计算会合点和分离点:利用,一、单回路负反馈系统的根轨迹,前面所讨论的根轨迹(180度根轨迹)是基于单回路负反馈系统的。,例开环传递函数为:,画根轨迹。,实轴上根轨迹区间是:-2,0;,渐进线倾角:与实轴的交点为:,解:,标出四个开环极点:0,-2,。有四条根轨迹。,11/19/2024,4,一、单回路负反馈系统的根轨迹 前面所讨论的,-3+4j处的出射角 :,根据对称性,可知-3-j4处的出射角 为:,与虚轴的交点:闭环特征方程为:,劳斯阵为:,当劳斯阵某一行全为零时,有共轭虚根。这时,。,辅助方程为:,解得共轭虚根为:,即为根轨迹与虚轴的交点。,11/19/2024,5,-3+4j处的出射角 :根据对称性,可知-3-j4,会合点与分离点(重根点):分离角为,由 得:,由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难,可采用下述近似方法:,我们知道,分离点在负实轴-2,0区间上,所以当s在实数范围内变化时,最大时为分离点。,6.28,11.49,15.59,18.47,20.0,20.01,18.28,14.57,8.58,-2.0,-1.8,-1.6,-1.4,-1.2,-1.0,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,s,可见分离点在-0.8-1.0之间,近似取-0.9。,11/19/2024,6,会合点与分离点(重根点):分离角为由,绘制根轨迹,如下图所示。,-4,-3,-2,-1,0,1,2,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,Real Axis,Imag Axis,11/19/2024,7,绘制根轨迹,如下图所示。-4-3-2-1012-5-4-3,解:开环零点 ,开环极点,根轨迹有两支。起点在极点处,终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。,实轴上根轨迹区间:,例4-4中已求得,分别为分离点=,-0.33,会合点=-1.67,分离角,分离点和会合点:,绘制根轨迹。,例4-7设开环系统传递函数为:,试绘制根轨迹。,11/19/2024,8,解:开环零点 ,开环极点根,例4-8设系统开环传递函数为:,试绘制系统的根轨迹。,解:开环零,极点分别为:,根轨迹有四支。,渐近线倾角,重心:,实轴上根轨迹区间,实轴上无分离点和会合点。,11/19/2024,9,例4-8设系统开环传递函数为:试绘制系统的根轨迹。解,与虚轴的交点:,闭环系统的特征方程为:,劳斯阵列:,劳斯阵有一行全为0,表示有共轭虚根。令:,辅助方程为:,出射角:,对,11/19/2024,10,与虚轴的交点:劳斯阵列:劳斯阵有一行全为0,表示有共轭虚根,绘制根轨迹图,见下图,-4,-3,-2,-1,0,1,2,-2.5,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,Real Axis,Imag Axis,11/19/2024,11,绘制根轨迹图,见下图-4-3-2-1012-2.5-2-1,特殊情况:,对于开环传递函数 有零极点相对消的情况。,-,如:,则:,引起特,征方程阶数的下降。处理方法见下图:,-,式中:,以开环传递函数 绘制根轨迹可得 的极点。闭环 系统 的极点由 和 组合而成。,由零极点相对消减少的极点由 的极点来补充。见下页图。,11/19/2024,12,特殊情况:对于开环传递函数 有零极点相对消,11/19/2024,13,8/1/202313,二、多回路系统的根轨迹,简单处理办法:,将多回路系统等效为单回路系统,再绘制180度根轨迹或参量根轨迹。,三、正反馈系统的根轨迹,以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。在实际的复杂系统中,可能有局部的正反馈的结构。正反馈系统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所示系统:,+,开环传递函数为:,闭环传递函数为:,11/19/2024,14,二、多回路系统的根轨迹 简单处理办法:将多,相应的跟轨迹方程为:,幅值条件和相角条件为:,与负反馈系统根轨迹比较,幅值条件相同,相角条件不同。负反馈系统的相角条件 是180度等相角条件;而正反馈系统的相角条件 是0度等相角条件。,注意:,负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或简称为根轨迹;,正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹。,11/19/2024,15,相应的跟轨迹方程为:幅值条件和相角条件为:与负,绘制0度根轨迹的基本准则:,对称性和连续性同常规根轨迹;,起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹;,渐进线:与实轴的交点同常规根轨迹;但倾斜角不同,,为:,有n-m个角度。,实轴上的根轨迹:其,右,方实轴上的开环零极点之和为偶数(包括0)的区域,。,分离点、会合点和分离角:同常规根轨迹;,11/19/2024,16,绘制0度根轨迹的基本准则:对称性和连续性同常规根轨迹;起,与虚轴的交点:同常规根轨迹;,闭环极点之和与之积:同常规根轨迹。,出射角和入射角:,11/19/2024,17,与虚轴的交点:同常规根轨迹;闭环极点之和与之积:同常规根,例4-9:设单位正反馈系统的开环传递函数为:,,试绘制系统的根轨迹。,起点在0,-1,-5处,终点在无穷远处。有3支根轨迹。,渐进线:与实轴的交点,倾角:,实轴上根轨迹区间:-5,-1,0,),分离角(点):,由 得:,显然,不在根轨迹上。分离点为:。,解:,11/19/2024,18,例4-9:设单位正反馈系统的开环传递函数为:,试绘制系统,11/19/2024,19,8/1/202319,比较正负反馈的根轨迹方程:,若开环传递函数为:,则正、负反馈的根轨迹方程分别为:,可见,正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的 从 时的根轨迹。所以,可将正负反馈系统的根轨迹合并,得 时的整个区间的根轨迹,,请阅读p135,图4-29及下页比较图。,11/19/2024,20,比较正负反馈的根轨迹方程:若开环传递函数为:则正、,左图为正反馈(0度)根轨迹图;右图为负反馈(180度)根轨迹图;,将例4-9的给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下:,作业:4-3a,4-4,4-5,11/19/2024,21,左图为正反馈(0度)根轨迹图;右图为负反馈(,小结,手工绘制180度根轨迹的步骤(单回路负反馈系统和多回路系统根轨迹的绘制);,手工绘制0度根轨迹的步骤(单回路正反馈系统根轨迹的绘制);,180度根轨迹和0度根轨迹的关系;,11/19/2024,22,小结 手工绘制180度根轨迹的步骤(单回路负反馈系统和多回,
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