椭球面上的弧长(大地线)计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 椭球面上的弧长计算,子午线弧长计算公式,由子午线弧长求大地纬度,平行圈弧长计算公式,椭球面梯形图幅面积的计算,大地线的概念与克莱劳方程,上一讲应掌握的内容,1、,椭球面上,法截线有关概念,法截线 子午圈(线)卯酉圈(线),曲率 曲率半径,2,、子午线曲率半径,在赤道上,M,小于,a,，,M,随纬度增加而增加,3、,卯酉线曲率半径,在赤道上,N,等于,a,，,N,随纬度增加而增加,4、任意法截弧的曲率半径,主曲率半径,M,及,N,分别是,R,A,的极小值和极大值。,R,0,M,，,R,90,N,5、平均曲率半径,（,不是地球平均半径,）,6、,椭球面上几种曲率半径的关系,子午圈曲率半径,M,及卯酉圈曲率半径,N,，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为,主曲率半径,。,主曲率半径的计算公式,不同的椭球元素对应不同的系数,写在黑板,主曲率半径的计算公式中的系数,4.4 椭球面上的弧长计算,在高斯投影计算和弧度测量,计算中，,往往用到,子午线弧长和平行圈弧长,一、子午线弧长计算公式,为了便于积分通常将正弦的幂函数展开为余弦的倍数函数。如：,子午线弧长计算公式推导（方法1）,子午圈曲率半径公式可变为：,积分，整理得：,板书,子午线弧长计算,对于,75,国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：,如果以,B,90,代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为,10 002 137m,。,旋转椭球的子午圈的整个弧长约为,40 008 549.995m,。,即一象限子午线弧长约为,10 000km,，,地球周长约为,40 000km,。,为求子午线上两个纬度,B,及,间的弧长，只需按上式分别算出相应的,X,及,X,，,而后取差：,1 2,，该,即为所求的弧长。,子午线弧长计算（续）,对于,400km,以下的子午线弧长计算公式,（,精确到：,0.001m,）,若弧长,45km,仅取,B,一次项，即可精确到：,0.001m,当弧长甚短,(,例如,X45km,，计算精度到,0.001m),，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径,M,m,写,子午线弧长计算公式推导,(方法2),将被积函数按二项式作级数展开，有：,代入上式，积分得：,写,子午线弧长计算公式（2）系数,对于75国际椭球，子午线弧长的具体计算公式为：,由子午弧长求大地纬度可以采用迭代解法和直接解法,迭代解法,:,直接解法：,二、由子午弧长求大地纬度,对于克氏椭球,三、平行圈弧长公式,任一平行圈都是半径相等的圆，,纬度为,B,的平行圈的半径为：,子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,四、椭球面梯形图幅面积的计算,只要求出经纬格网的面积，就可度量出椭球面的整个面积或局部区域的面积。,L,L+dL,B,B+dB,MdB,NcosBdL,d,上式利用二项式展开并积分，得：,四、椭球面梯形图幅面积的计算,（续）,即：,椭球面积,若取,L,2,-,L,1,=2,，,B,2,=,/2，,B,1,=0,可得出北半球的椭球面面积；,再乘以2得到椭球面的总面积。,克氏椭球总面积约为5.1亿km,2,梯形图幅的面积，直接代入经纬度计算。,对于形状不规则的区域面积可将该区域分割成若干个规则格网的子块，然后求和。,4.5 大地线的概念与计算,两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢?它应是大地线。,一、相对法截弧,法截弧：,由椭球面上,A,点的法线与,B,点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为,A,到,B,的法截弧。,相对法截弧：,A,到,B,的法截弧与,B,到,A,的法截弧。,互为正反法截弧,相对法截线的关系,当,A,，,B,两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，但不是平行圈。,在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上,A,，,B,，,C,三个点处所测得的角度,(,各点上正法截线之夹角,),将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条,单一的大地线,代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。,相对法截线的特点:,二、大地线的定义与性质,定义2：大地线是主法线与曲面法线处处重合的曲线,。,定义1：,椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线,（测地线）。,大地线的性质：,1、曲面上连接任何两点的最短弧线必为大地线；,2、大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面；,3、大地线的测地曲率等于0；,4、大地线位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角,5、在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。,长度差异可忽略（,40km,以内），,但方向差异需改化,。,三、大地线的微分方程,（推导）,由球面余弦定理得：,三、大地线的微分方程,四、大地线的克莱劳方程,在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数,克莱劳方程的应用,对于同一条大地线上的各点因要保持同一个,C,值，而使点上的大地线方位角与平行圈半径两者间的变动互为制约。,当大地线穿越赤道时,赤道是大地线,C,=,a,当大地线达极小平行圈时,子午圈是大地线,C,=0,由克莱劳方程可以写出,用以检查纬度和方位角计算的正确性,解：,由克莱劳方程：,得：该大地线所能达到的最小平行圈的半径为,习题,在克拉索夫斯基椭球面上，某一大地线穿越赤道时的大地方位角,A,=30，试求该大地线所能达到的最小平行圈上，经差,l,=6,52.53的平行圈弧长（精确至0.01m）,评析：,掌握克莱劳方程的意义及其应用；掌握平行圈弧长的计算。,经差为,l,的平行圈弧长为：,a,=6378245m,结束,再见!,