14.1.1.1直角三角形三边的关系

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,14,.1.1,直角三角形,三边的关系,一、情境引入,会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号,.,2002,年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标：,朱实,黄实,朱实,朱实,朱实,A,B,C,赵爽,弦图,试一试,1.,直角三角形三边之间的关系,测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表：,三角尺,直角边,a,直角边,b,斜边,c,关系,1,2,1,2,根据测得的数据，你能作出怎样的猜想？和其他同学交流一下异同,.,R,Q,P,C,A,B,图,14.1.1,图,14.1.1,是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中画出的三个正方形,P,、,Q,、,R,之间存在怎样的关系？,观察,A,B,C,P,Q,R,试一试,（每一小方格表示,1cm,2,),图,14.1.2,观察图,14.1.2,，,可得：,=,cm,2,=,cm,2,=,cm,2,9,16,25,之间存在怎样的关系？,方法,1,方法,2,做一做,A,B,C,P,Q,R,方法一：,分割成若干个直角边为整数的三角形,(cm,2,),（每一小方格表示,1cm,2,),图,14.1.2,返回,A,B,C,P,Q,R,（每一小方格表示,1cm,2,),图,14.1.2,方法二：,补成一个正方形,(Cm,2,),返回,做一做,在图,14.1.3,的方格图中用三角尺画出两条直角边分别为,5cm,、,12cm,的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立？,（每一小方格表示,1cm,2,),图,14.1.3,5,12,13,因为,5,2,+12,2,=169,，,13,2,=169,，,所以,5,2,+12,2,=13,2,勾股定理,对于任意直角三角形，如果两直角边分别为,a,、,b,斜边为,c,，那么一定有,即,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,.,a,b,c,如果知道了直角三角形两边的长度,那么应用勾股定理可以求出第三边的长度,勾股定理给出了,直角三角形,三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方,。,c,b,a,公式变形,c,2,=a,2,+b,2,a,2,=c,2,b,2,b,2,=c,2,-a,2,做一做：,P,625,400,2,x,6,P,的面积,=_,X=_,225,B,A,C,AB=_,AC=_,BC=_,25,15,20,求下列图中表示边的未知数,x,、,y,的值,.,81,144,x,y,做一做,144,169,X=81+144,2,Y=169-144,2,X=15,Y=5,比一比看看谁算得快！,3.,求下列直角三角形中未知边的长,:,可用勾股定理建立方程,.,方法小结,:,8,x,17,12,5,x,做一做,X,2,=17,2,-8,2,X=15,X,2,=12,2,+5,2,X=13,例,1,.,在,RtABC,中，,=90,.,(1),已知：,a,=6,，,=8,，求,c,；,(2),已知：,a,=40,，,c,=41,，求,b,；,(3),已知：,c,=13,，,b,=5,，求,a,；,(4),已知,:,a:b,=,3:4,c,=15,求,a,、,b,.,例题分析,(1),在直角三角形中,已知两边,可求第三边,;,(2),可用勾股定理建立方程,.,方法小结,例,2,如图,14.1.4,将长为,5.41,米的梯子,AC,斜靠在墙上,BC,长为,2.16,米,求梯子上端,A,到墙的底边的垂直距离,AB(,精确到,0.01,米,),C,B,A,图,14.1.4,C,B,A,图,14.1.4,解：,如图,14.1.4,在,RtABC,中，,BC=2.16,米，,AC=5.41,米，,根据勾股定理可得,答：,梯子上端,A,到墙的底边的垂直距离,AB,约为,4.96,米,.,例,3,如图,为了求出位于湖两岸的两点,A,、,B,之间的距离，一个观测者在点,C,设桩，使三角形,ABC,恰好为直角三角形。通过测量，得到,AC,长为,160,米，,BC,长为,128,米，问从点,A,穿过湖到点,B,有多远？,A,B,C,课堂小结,1.,谈谈你这节课的收获与感受；,2.,你还有什么困惑？,课后拓展,A,C,O,B,D,一个,3m,长的梯子,AB,斜靠在一竖直的墙,AO,上,这时,AO,的距离为,2.5m,如果梯子的顶端,A,沿墙下滑,0.5m,那么梯子底端,B,也外移,0.5m,吗,?,商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作,周髀算经,中记录着商高同周公的一段对话。商高说：,故折矩，勾广三，股修四，经隅五。,什么是,勾、股,呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为,勾,，下半部分称为,股,。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为,3,（短边）和,4,（长边）时，径隅（就是弦）则为,5,。以后人们就简单地把这个事实说成,勾三股四弦五,。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作,商高定理,。,商高定理,毕达格拉斯定理,毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和,数,之间的关系，于是 拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线,AB,为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇,.,于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于,5,块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。,希腊的著明数学家毕达格拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达格拉斯”定理为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”,百牛定理,一个周末的傍晚，伽菲尔德突然发现附近的一,个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，,只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直,角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那,个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为,3,和,4,，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是,5,呀”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为,5,和,7,，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于,5,的平方加上,7,的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味,于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法,1881,年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。,总统与勾股定理,、如图,:,一个高,3,米,宽,4,米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为,(),A.3,米,B.4,米,C.5,米,D.6,米,C,试一试,:,、隔湖有两点,A,、，从与,A,方向成直角 的,BC,方向上的点,C,测得,CA=13,米,CB=12,米,则,AB,为,(),A,B,C,A.5,米,B.12,米,C.10,米,D.13,米,13,12,?,A,试一试,:,、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为,(),A 2,、,4,、,6,4,、,6,、,8,B,试一试,:,6,、,8,、,10,8,、,10,、,12,5,或,、已知：,Rt,BC,中，,AB,，,AC,则,BC,的长为,.,试一试,:,4,3,A,C,B,4,3,C,A,B,1,1,数学的和谐美,勾股小常识：勾股数,1,、,a,+,b,=,c,，满足,(,a,b,c,)=1,则,a,b,c,为,基本勾股数如：,3,、,4,、,5;5,、,12,、,13;,7,、,24,、,25,2,、如果,a,b,c,是一组勾股数，则,ka,、,kb,、,kc,（,k,为正整数）也是一组勾股数，如：,6,、,8,、,10,；,9,、,12,、,18,3,、若,a,b,c,是一组基本的勾股数，则,a,b,c,不能同时为奇数或同时为偶数,4,、一组勾股数中必有一个数是,5,倍数,5,、,2,mn,m,-,n,m,+,n,为勾股数组，,m,n,0,m,n,一奇一偶,