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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,）,间接方法,2,）,直接方法,如果,x,N,(n),的傅里叶变换用,X,N,(e,jw,),表示,那么,x,N,(-n),的傅里叶变换为,X,*,N,(e,jw,),式中,S,per,(e,jw,),称为周期图,它是,G,xx,(e,jw,),的估计。,周期图及其估计质量,设,x,n,是均值为,0,的广义平稳随机过程，是自相关遍历性的。,x,N,(n),=,x(0),x(1),x(N-1),是取样序列,x(n),中的,N,个数据,1）间接方法2）直接方法如果xN(n)的傅里叶变换用XN(e,可以证明，两种途径所得的结果是一致的,周期图法的功率谱估计公式,令,m=k-n,即,k=m+n,，则,上式中的方括号部分正是有偏自相关函数的计算公式,因此得到,可以证明，两种途径所得的结果是一致的令 m=k-n,即k,周期图的估计质量,理想的情况是,随着数据记录长度的增加,周期图,S,per,(e,jw,),应收敛于随机过程的真实功率谱,G,xx,(e,jw,),。必须从统计的观点讨论周期图的收敛问题,或者说,讨论下式是否成立的问题,为了使周期图满足,上,式的收敛条件,即为了使周期图是均方收敛的,，,S,per,(e,jw,),应当是,G,xx,(e,jw,),的一致估计,周期图的估计质量理想的情况是,随着数据记录长度的增加,周期图,Bartlett,窗（或三角窗）,周期图的偏差,Bartlett窗（或三角窗）周期图的偏差,式中,下图所示为,Bartlett,窗及其傅里叶变换的图像。,由于,W,B,(e,jw,),不是一个冲激函数,因此一般情况下,当,N+,时,W,B,(e,jw,),收敛于一个冲激函数,因此可得出,S,per,(e,jw,),是渐近无偏的。,式中下图所示为 Bartlett窗及其傅里叶变换的图像。由于,周期图的方差,周期图的方差与随机过程的,4,阶矩有关,令,x(n),是方差为,x,2,的高斯白噪声随机过程,当,N+,时,周期图的方差并不趋近于,0,由于,所以高斯白噪声的周期图的方差与功率谱的平方成正比例,周期图不是功率谱的一致估计。,周期图的方差周期图的方差与随机过程的4阶矩有关令x(n)是方,快速傅立叶变换函数,y=fft(x);y=fft(x,n);y=fft(x,n,dim),x:输入序列，其长度小于,n,时，尾部补零；大于,n,时，截断成,n,点数据；,若,x,为矩阵，则,fft,函数作用于,x,的每一列。,y,:序列,x,的FFT，长度与,x,相同，一般是复序列。,注意：,1.,对于,N,点的,x,，其,FFT,是,N,点的复数序列，其点,n=N/2+1,对应奈奎斯特频率,(离散信号系统采样频率的一半),，作谱分析时仅取序列,y,的前一半，及前,N/2,点即可；,y,的后一半序列和前一半是对称的。,2.,若,N,点序列,x(n)(n=0,1,N-1),是在采样频率,f,s,(Hz),下获得的，则,y=X(k)(n=0,1,N-1),，其中，第,k,点所对应的实际频率值为,f=k*f,s,/N(Hz)。,3.,做,FFT,分析时，幅值大小与,FFT,选择点数有关，但不影响分析结果。,快速傅立叶变换函数,在计算周期图期望值的式中,引入的,Bartlett,窗,w,B,(m),是加在自相关序列上的窗,称为滞后窗。为说明滞后窗对周期图期望值产生的影响,现在来看一个例子,假设有一个随机过程,它是由一个具有随机相位的正弦信号加上白噪声构成的,式中,为一个在,-,区间内均匀分布的随机变量,;,v(n),为方差为,v,2,的白噪声。,x(n),的真实功率谱为,可计算出,x(n),的周期图的期望值为,在计算周期图期望值的式中,引入的 Bartlett窗,下图所示为,x(n),的真实功率谱,G,xx,(e,jw,),和周期图的期望值,E,S,per,(e,jw,),的图像。注意,两者都是偶对称的和周期的,(,周期为,2),图中只画出了,0,之间的部分图像。将两者的图像进行比较,可以看到滞后窗的傅里叶变换,W,B,(e,jw,),对,E,S,per,(e,jw,),的两方面影响,下图所示为x(n)的真实功率谱Gxx(ejw)和周期图的期望,由于,W,B,(e,jw,),的主瓣不是无限窄的,导致正弦信号中的功率扩散到带宽约为,4/N,的整个主瓣范围内,使本来是一根谱线的正弦信号的功率谱变成了与滞后窗傅里叶变换主瓣形状相同的功率谱。这种影响就是滞后窗的平滑作用,可使真实功率谱中的细节变化变得模糊不清。,由于,W,B,(e,jw,),有许多旁瓣,使与正弦信号功率谱,(,线状谱,),相卷积的结果,在,k,0,2,k/N,等频率点上形成其他的谱峰,在严重的情况下,这些多余的谱峰有可能掩盖住信号中本来含有的幅度较小的窄带成分。这种影响称滞后窗的旁瓣泄漏。,由于WB(ejw)的主瓣不是无限窄的,导致正弦信号中的功率,例,假设在,上例,式,子,所表示的随机过程,x(n),中,A=5,0,=0.4,v,2,=1,。现有该随机过程的,50,次实现,或者说,对该随机过程观测了,50,次,每次观测获得了,N=64,个数据。根据每组数据计算得到一个周期图,图,(a),所示的是,50,个周期图的图像。可以看到,这些周期图都在,0,=0.4,附近有一个主峰,但是,50,个周期图是各不相同的。图,(b),所示的是,50,个周期图的平均,近似地等于给出的周期图期望值。如果把每次观测的数据数目增加到,N=256,那么根据这些数据计算出来的,50,个周期图的图像如图,(c),所示,图,(d),所示的是它们的平均。可以看出,由于数据量增多等效于滞后窗加宽,相应的傅里叶变换的主瓣变窄,因此,正弦信号中的功率扩散的频率范围变得很窄了,(,图上,0,=0.4,附近的主峰变尖锐了,),。,例 假设在上例式子所表示的随机过程x(n)中,A=5,0,生物医学信号处理-5,周期图作为功率谱的估计,不仅会产生偏差,(,它是有偏估计,),而且由于滞后窗频率特性主瓣的平滑作用,限制了周期图分辨,x(n),中任何两个频率相近的窄带成分的能力或频率分辨力,(,或分辨率,),。例如,有一个由两个具有随机相位的正弦信号加上白噪声组成的随机过程,式中,A,1,和,A,2,为正弦信号振幅,;,1,和,2,为互不相关的均匀分布的随机相位,;,v(n),为方差为,v,2,的白噪声。,x(n),的功率谱为,周期图,的期望值为,周期图作为功率谱的估计,不仅会产生偏差(它是有偏估计),而且,下,图所示为,N=64,，,A,1,=A,2,=A,情况下,，,G,xx,(e,jw,),和,E,S,per,(e,jw,),的图像。,下图所示为N=64，A1=A2=A情况下，Gxx(ejw)和,由于,W,B,(e,jw,),的主瓣宽度随数据记录长度的减小而增加,因此,对于一定的数据记录长度,N,，,W,B,(e,jw,),的主瓣宽度是一定的。这样,周期图能够分辨两个频率相近的正弦,(,或窄带,),信号的能力就是一定的,通常把这种频率分辨率用,W,B,(e,jw,),的主瓣宽度,来度量。对于图,(b),所示的,Bartlett,滞后窗的频率特性,其主瓣在半功率点或从峰值下降,6dB,处的宽度,：,=0.89(2,/N),因此,周期图的频率分辨率为,Res,S,per,(e,jw,),=0.89,(2,/N),实际应用中的经验表明，这是一个比较符合实际的估算周期图的频率分辨率的公式，,由,上式可以看出：频率分辨率与数据量成反比关系。,由于WB(ejw)的主瓣宽度随数据记录长度的减小而增加,因此,例,为使周期图的频率分辨率不大于,0.05,数据记录长度应为多少,?,解,:,在,上,式中,令,Res,S,per,(e,jw,),=0.89,(2,/N)0.05,由上式求出,N36,。现在来对周期图的频率分辨率做一个测试。假设,上例,式,子,给出的随机过程中,取,A,1,=A,2,=A=5,1,=0.4,2,=0.45,v,2,=1,；,对该随机过程采集,50,组数据,每组,N=40,个取样值。,下,图,(a),所示的是相应的,50,个周期图的图像,由该图看出,其中有的周期图能够分辨出位于,0.4,和,0.45,附近的两个正弦分量,但有的周期图则不能,。,图,(b),所示的是,50,个周期图的平均,可以看到两个主峰合并在一起了。若将每组数据量由,N=40,增至,N=64,相应的,50,个周期图及其平均的图像如图,(c),和,(d),所示,，,可以看出,两个正弦分量总是能清晰地分辨出来。,例 为使周期图的频率分辨率不大于0.05,数据记录长度应为,生物医学信号处理-5,周期图的随机起伏,从,下,图,(a),、,(c),和,(e),已经看到,任何一组数据计算得到的周期图,都在真实功率谱附近随机起伏,这种随机起伏并不会因为数据记录长度的增加而减弱。实际上可以看到,数据越多,这种随机起伏反而越密集。,周期图的随机起伏从下图(a)、(c)和(e)已经看到,任何,这样,仅通过一个周期图来估计功率谱是不可靠的,因此通常要将许多周期图进行平均,例如图中的,(b),、,(d),和,(f)3,个平均后的周期图,就与真实功率谱比较接近。但是,从,3,个平均周期图上仍然看到了随机起伏,而且数据记录长度越长,这种随机起伏越密集。现在对这种随机起伏的产生原因进行分析。,这样,仅通过一个周期图来估计功率谱是不可靠的,因此通常要将许,这意味着,在相距,2/N,的整数倍的频率上,周期图的值是互不相关的,。,随着,N,值的增大,周期图上这些不相关的频率点越来越靠近,因此,周期图上的随机起伏越来越密集。但是,N,值的增大却不会使周期图的方差减小,(,事实上,周期图的方差等于常数,),因此,周期图上的随机起伏幅度也不会减弱,。,考,察两个频率,1,=,2,k/N,和,2,=,2l,/N,上的周期图值之间的协方差,，,这里,k,和,l,是整数,得到,当,kl,时,可,得出,这意味着,在相距2/N的整数倍的频率上,周期图的值是互不相,
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