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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、复数的基本概念,1、,称为复数，记为,其中,i,称为虚单位满足：,实数,x,和,y,称为实部和虚部，记为,2、,与 相等,当且仅当,一、复数的基本概念1、称,1,3、,与 称为共轭复数，,记为 和,4、,与 可以进行,加、减、乘、除等运算,3、与 称为共轭复数，记为,2,从以上运算可看出复数的运算依然满足交,换律，结合律，分配律等，且完全平方公,式，平方差公式，立方差公式等也都成立。,从以上运算可看出复数的运算依然满足交换律，结合律，分配律等，,3,5、全体复数可用平面点集表示，即表示,为平面直角坐标系中的坐标。,对应坐标系中的坐标,所以复数也可看成向量（矢量），其,加减运算服从平行四边形法则或三角,形法则。,性质：,5、全体复数可用平面点集表示，即表示为平面直角坐标系中的坐标,4,实轴,虚轴,此时整个平面称为复平面或,z,平面。,图中的红色箭头表示的复数。,实轴虚轴此时整个平面称为复平面或 z 平面。图中的红色箭头表,5,6、既然复数可看成向量（矢量），则,必然有大小和方向。,的大小(箭头长度)称为,z,的模,记为 ，显然,性质：,的方向由它与实轴的夹角确定。,此夹角称为辐角，记为,性质：,6、既然复数可看成向量（矢量），则必然有大小和方向。的大小(,6,介于 之间的辐角称为主辐角，,记为：，显然有,辐角有无穷多个，所以定义：,例如：,介于 之间的辐角称为主辐角，记为：，显然,7,则有,于是复数就有三种表示法：,指数形式表示法,7、设复数 的辐角为 ，模为,三角形式表示法,代数形式表示法,例如：,则有于是复数就有三种表示法：指数形式表示法7、设复数,8,在进行复数的乘除运算时，使用指数形式,会较为方便，设,于是有：,在进行复数的乘除运算时，使用指数形式会较为方便，设于是有：,9,8、复数的幂,设,z,的,n,次方根正好有,n,个根。,而,则,8、复数的幂 设 z 的 n 次方根正好有,10,例如：,当,当,当,的,n,个根正好是内接于原点为圆心,为半径的圆的正,n,边形的顶点坐标。,例如：当当当的 n 个根正好是内接于原点为圆心为半径的圆的正,11,9、平面曲线的复数方程,如何将曲线一般方程 改写为,复数方程,表示复平面上的所有点，但当,x,与,y,满足一定关系式时，则此时的,就表示某曲线上的动点，于是,只要令 ，则,就表示 的复数方程。,9、平面曲线的复数方程如何将曲线一般方程,12,例如：,的复数方程为,的复数方程为,或,的复数方程为,而圆心在,的圆复数方程为,或,例如：的复数方程为的复数方程为或的复数方程为而圆心在的圆复数,13,二、复变函数,1、,称为实(变)函数，,称为复变函数，,例如,2、当,代入时，可表示为,二、复变函数1、称为实(,14,例如,例如,15,三、复变函数的连续性与极限,等均为连续函数，,1、,的连续性与 类似。,例如,而,则在 处连续。,间断点称为,奇点,。,三、复变函数的连续性与极限等均为连续函数，1、,16,如,的奇点为：,如,2、,的极限,若,f,(,z,),连续，则,也可以将 代入求极限，此时,就与二元函数求极限类似。,如的奇点为：如 2、的极限若 f(z,17,例如,注意：,此时的变化趋势是从任意方向无限接近。,令,例如注意：此时的变化趋势是从任意方向无限接近。令,18,当,例 证明,不存在,证,当,当例 证明不存在证当,19,性质：求极限时等价无穷小与洛必达法则,如,均可使用。,性质：求极限时等价无穷小与洛必达法则如均可使用。,20,性质：,3、无穷远点,对于 ，当 时，则,性质：3、无穷远点对于 ，当 时，,21,练习,3、解方程,1、，求,2、，求,的指数表示形式。,4、证明 不存在,练习3、解方程1、，求2、,22,答案,1、,3、,2、,答案1、3、2、,23,
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