第三章-条件平差课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,3-1,条件平差原理,设在某个测量作业中，有,n,个观测值 ，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为 ，改正数为 ，平差值为 ，表示为,其中,在这,n,个观测值中，有,t,个必要观测数，多余观测数为,r,。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,3-1 条件平差原理 设在某个测量作业中，有n个观测值,1,条件平差原理,可以列出,r,个平差值线性条件方程,式中，,a,i,、,b,i,、,、,r,i,（,i,=1,2,n,）为各平差值条件方程式中的系数，,a,0,、,b,0,、,、,r,0,为各平差值条件方程式中的常数项。相应的改正数条件方程式,式中,w,a,、,w,b,、,、,w,r,称为改正数条件方程的闭合差,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,条件平差原理可以列出r个平差值线性条件方程误差理论与测量平差,2,若取,上,式可分别表达成矩阵形式如下,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,误差理论与测量平差 牛牛文库文,3,按拉格朗日求函数极值法，引入乘系数,（联系数向量），构成函数：,为引入最小二乘法，将,对,V,求一阶导数，并令其为零,得,上式两端转置，得,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,按拉格朗日求函数极值法，引入乘系数 误差理论与测量平差w,4,由于,P,是主对角线阵，则,P,=,P,T,，得,将上式两边左乘权逆阵,P,1,，得,此式称为改正数方程，其纯量形式为,（,i,=1,，,2,，,，,n,）,将上式代入，得,此式称为联系数法方程（简称法方程）。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,由于P是主对角线阵，则 P=P T，得误差理论与测量平,5,取法方程的系数阵,，,由上式易知,N,阵关于主对角线对称，得法方程表达式,法方程系数阵,N,的秩,即,N,是一个,r,阶的满秩方阵，且可逆。移项得,上式两边左乘法方程系数阵,N,的逆阵,N,1,，得,联系数,K,的唯一解：,代入前式，可计算出,V,，再将,V,代入,即可计算出,所求的观测值的最或然值。,AP,-1,A,T,=N,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,取法方程的系数阵 ，由上式易知N,6,精 度 评 定,精度评定包括单位权方差 和单位权中误差 的计算、平差值函数,(),的协因数,Q,FF,及其中误差 的计算等。,第一章中学习权的定义时我们知道，某量权与其方差的关系为：，但实际测量中总是得到其估值 。相应地也就只能求得函数的估计方差 。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,精 度 评 定 精度评定包括单位权方差 和单位权中误差,7,计算单位权方差和中误差的估值,前面我们学过单位权中误差的计算公式为,在一般情况下，观测值的真误差是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数,V,来计算单位权方差和中误差：,式中,r,为多余观测值个数，,r=n,t,。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,计算单位权方差和中误差的估值 前面我们学过单位权中误差的计算,8,协 因 数 阵,条件平差的基本向量,L,、,W,、,K,、,V,、都可以表达成随机向量,L,的函数,将向量,L,、,W,、,K,、,V,、组成列向量，并以,Z,表示之,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,协 因 数 阵 条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表达,9,按协因数传播律，得,Z,的协因数阵为,由上式可见，平差值与闭合差,W,、联系数,K,、改正数,V,是不相关的统计量，又由于它们都是服从正态分布的向量，所以与,W,、,K,、,V,也是相互独立的向量。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,按协因数传播律，得Z的协因数阵为误差理论与测量平差www.n,10,平差值函数的协因数,设有平差值函数,对上式全微分得,取全微分式的系数阵为,由协因数传播律得,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,平差值函数的协因数 设有平差值函数误差理论与测量平差www.,11,代入式得,即,此式即为平差值函数式的协因数表达式。,该平差值函数的方差,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,误差理论与测量平差 牛牛文库文档分,12,条件平差的计算步骤,（,1,）根据实际问题，确定出总观测值的个数,n,、必要观测值的个数,t,及多余观测个数,r=n-t,，进一步列出最或是值条件方程或改正数条件方程；,（,2,）组成法方程式；,（,3,）计算出联系数,K,；,（,4,）计算出观测值改正数,V,；并计算出观测值的平差值；,（,5,）计算单位权方差和单位权中误差；,（,6,）列出平差值函数关系式，并对其全微分，求出其线性函数的系数阵,f,，计算出平差值函数的协因数,Q,FF,，计算出平差值函数的协方差,D,FF,。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,条件平差的计算步骤（1）根据实际问题，确定出总观测值的个数,13,3-2,高程网条件平差,高程网包括水准网和三角高程网。对高程网进行条件平差时，一般以已知高程点的高程值作为起算数据，以各测段的观测高差值作为独立观测值，写出其满足的条件关系式，按照条件平差的原理解算各高差值的改正数和平差值，然后再计算出各待求点的高程平差值，并进行精度评定。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,3-2 高程网条件平差 高程网包括水准网和三角高程网。对,14,高程网条件方程的个数及条件方程式,进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式的个数与多余观测的个数,r,相符。而要确定多余观测个数,r,就必须先确定必要观测个数,t,。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,高程网条件方程的个数及条件方程式 进行条件平差时，首先要确定,15,高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主要目的是确定未知点的高程值。如图所示高程网中，有,2,个已知高程点,A,、,B,，,3,个未知高程点,C,、,D,、,E,和,8,个高差观测值。从图中可以看出，要确定,3,个未知点的高程值，至少需要知道其中的,3,个高差观测值（如,h,1,、,h,2,、,h,3,，或,h,6,、,h,7,、,h,8,，或,h,2,、,h,4,、,h,5,等多种选择），说明条件方程列立形式 多样。,即必要观测个数,t=,3,。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主要目的是确定未知点,16,则多余观测个数,r=n,t=,8-3,=,5,，可以写出这,5,个条件方程式,相对应的改正数条件方程式形式,其中,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,则多余观测个数r=n t=8-3=5，可,17,这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中第五个，反应的是从,A,点出发后测得的,B,点的高程值是否与,B,点的已知高程值相等的问题，可称为附合条件方程式。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,误差理论与测量平差 牛牛文库文档分,18,3-3,导线网条件平差计算,导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结点导线网，是目前较为常用的控制测量布设方式，其观测值有长度观测值和角度观测值。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,3-3 导线网条件平差计算 导线网，包括单一附合导线、单,19,单一附合导线条件平差,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,单一附合导线条件平差 误差理论与测量平差www.niuwk.,20,如图上图所示，在这个导线中有四个已知点、,n-,1,个未知点、,n,+1,个水平角观测值和,n,条边长观测值，总观测值数为,2,n,+1,。从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即需要两个观测值；要确定全部,n-,1,个未知点，则需观测,n-,1,个导线边和,n-,1,个水平角，即必要观测值数,t=,2,n-,2,；则多余观测个数,r=,(2,n+,1),t=,3,。也就是说，在单一附合导线中，不管有几个待定点，,只有三个条件方程,。下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,如图上图所示，在这个导线中有四个已知点、n-1个未知点、n,21,设,AB,边方位角已知值为,T,AB,=,T,0,，,CD,边方位角已知值为,T,CD,、计算值为,T,n+,1,，,B,点坐标的已知值为,(,),或者,(,x,1,y,1,),，,C,点坐标的已知值为,(,),、计算值为,(,x,n,+1,y,n,+1,),。三个条件中，有一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。,方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平差值应等于其已知值，即,纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标平差值应与终点的已知坐标值相等，即,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,设AB边方位角已知值为TAB=T0，CD边方位角已知值为,22,1.,方位角附合条件式,则方位角附合条件式可写为,整理得,其中,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,1.方位角附合条件式误差理论与测量平差www.niuwk.c,23,2.,纵坐标附合条件式,终点,C,坐标平差值表示为,而第,i,边的坐标增量为,式中,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,2.纵坐标附合条件式误差理论与测量平差www.niuwk.c,24,其中,T,i,是第,i,边的近似坐标方位角,则上式可表示为,上式按泰勒级数展开，取至一次项，得,其中 ，为由观测值计算出的近,似坐标增量。,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,其中Ti是第i边的近似坐标方位角误差理论与测量平差www.n,25,上式代入，整理得,上式即为纵坐标条件方程式，也可写为统,一形式：,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,误差理论与测量平差 牛牛文库文档分,26,3.,横坐标附合条件式,可以仿照纵坐标条件推导过程，写出横坐标条件式,为使计算方便，保证精度，在实际运算中，,S,、,x,、,y,常以米为单位，,w,、,v,S,、,v,以厘米为单位,，,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,3.横坐标附合条件式误差理论与测量平差www.niuwk.c,27,单一闭合导线条件平差,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,单一闭合导线条件平差误差理论与测量平差www.niuwk.c,28,1.,多边形内角和闭合条件,由于导线网构成了多边形，其,n,+1,个转折角的平差值应满足多边形内角和条件,写成转折角改正数条件方程形式,其中,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,1.多边形内角和闭合条件误差理论与测量平差www.niuw,29,2.,坐标增量闭合条件,参照单一附合导线纵横坐标附合条件推导方法，可以得出坐标闭合条件的改正数条件方程式：,如果,S,、,x,、,y,以米为单位，,w,、,v,S,、,v,以厘米为单位，则,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,2.坐标增量闭合条件误差理论与测量平差www.niuwk.c,30,边角权的确定及单位权中误差,取角度观测值的权及中误差为：,p,、；取边长观测值的权及中误差为：,p,S,、；取常数 ，则角度及边长观测值的权为,一般情况下，可以认为同一导线网中测角精度相等，但是由于导线边长变化较大使得测边精度不等。可以取 ，则有,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,边角权的确定及单位权中误差 取角度观测值的权及中误差为：p,31,由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误差应按下式计算：,如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中误差作为单位权中误差（即,m,0,=,m,），所以在算出的单位权中误差的同时，实际上也就计算出了测角中误差。测边中误差可按下式计算：,误差理论与测量平差,牛牛文库文档分享,由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误差应按下式计算：误,32,3-4,三角网条件平差