能量原理与变分法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,19 十一月 2024,能量原理与变分法,01 十月 2023能量原理与变分法,1,12-1 外力功 变形能,外力功：,弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用 点将沿外力的作用方向产生位移（,相应位移,）。外力在相 应位移上所作的功称为,外力功,。,变形能：,在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为,变形能,。,外力功和变形能的关系：,若外力从零平缓地增加到最终值，则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。即：,能量法：,利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位移、内力的原理和方法，称为,能量法,。,2,12-1 外力功 变形能外力功：弹性体在外力作用下发生变形,外力功的计算：,12-2 外力功和变形能的计算,F,广义力,广义位移,梁为非弹性体时：,梁为弹性体时：,在线弹性范围内:,3,外力功的计算：12-2 外力功和变形能的计算F广义力梁,变形能的计算：,如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）,，,产生相应的广义位移（包括角位移），那么,非线性弹性体的变形能：,线性弹性体的变形能：,克拉比隆（,Clapeyron,）原理：,弹性体的变形能等于广义力与其相应广义,位移乘积之半的总和。,4,变形能的计算：如果弹性体上作用几个,?,对于,杆C,先加,再加,特性1：计算U时不能用叠加原理。,(a),(c),(b),例：现有a，b，c三根杆，已知其长度,l,和刚度EA 相等，,求：各杆的变形能。,?对于先加再加特性1：计算U时不能用叠加原理。(a)(c)(,5,特性2：U 只与载荷的最终数值有关；与加载方式无关。,(a),(c),(b),对于,杆C,先加,再加,6,特性2：U 只与载荷的最终数值有关；与加载方式无关。(a)(,杆件在基本变形情况下的变形能：,变形形式,外力功,位移与力的关系,变形能,7,杆件在基本变形情况下的变形能：变,组合变形情况下杆件的变形能：,在所截取的微段内，可以认为内力为常量。轴力、剪力、弯矩、扭矩对微段来说是处于外力,位置。所以,整个杆的变形能,注意：,对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于,弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时,通常不计轴力和剪力的影响。,8,组合变形情况下杆件的变形能：在所截取的微段内，可以认为内力为,思考：,变形能的计算能不能用叠加原理,9,思考：变形能的计算能不能用叠加原理9,材料质点（微单元体）,能量原理与变分法,静力平衡,变形几何,物理关系,偏微分方程,变分法,整个变形体的能量,积分方程（能量的变分为零）,变分法是有限元方法的基础,变分法与微分方程的描述，两者可以转化,10,材料质点（微单元体）能量原理与变分法 静力平衡偏微分方程,静力可能状态,物体Q，在内部受体力(,X,，,Y,，,Z,)作用，,在静力边界S,上受面力,(，)作用,外力与内力(应力）,处处（物体内和边界上）,满足平衡。,11,静力可能状态,在物体内满足平衡微分方程,在静力边界上满足静力边界条件,在位移边界上，其反力由上式给出,12,在物体内满足平衡微分方程 在静力边界上满足静力边界,在物体内位移与应变满足几何方程,u,d,=,v,d,=,w,d,=,在位移边界S,u,上，满足位移边界条件,变形协调,变形可能状态,13,在物体内位移与应变满足几何方程ud=,静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的,受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系,静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调,变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程,14,静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不,可能功原理,外力（体力和面力，包括反力）在变形可能的位移上所做功,内力（应力）在变形可能的应变上所做功,15,可能功原理1,证明:,散度定理,16,证明:散度定理16,真实状态（静力可能状态）,虚位移状态（变形可能状态）,虚位移（功）原理,17,真实状态（静力可能状态）虚位移状态（变形可能状态）虚位移（功,外力虚功内力虚功,（1）虚功原理没有涉及到物理方程，即没有规定应力与应变之间的具体关系，因此，对弹性、塑性情况均适用。,（2）虚位移原理完全等价于平衡微分方程和力边界条件。,使用可能功原理，并考虑到位移边界上反力功为零,18,外力虚功内力虚功（1）虚功原理没有涉及到物理方程，即没有规,使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是位移的函数。,若位移及与之相应的应力与应变满足：,（1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件），,（2）位移边界条件，,（3）平衡微分方程，,（4）静力边界条件，,则该位移就是问题的解，即为真实位移。,19,使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是位,仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移原理。,故,求解弹性力学问题又可叙述为：,(1),在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场。,或者,(2),真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位移原理。,20,仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条,最小势能原理,内力虚功,物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功,对于整个弹性体,内力虚功应变能因虚位移而引起的改变,21,最小势能原理对于整个弹性体内力虚功应变能因虚位移而引起的改,外力虚功,如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变,外力虚功外力势能因虚位移而引起的改变,22,外力虚功外力虚功外力势能因虚位移而引起的改变22,称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和,从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零，即在真实状态总势能取极值。,对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值，,最小势能原理,：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位移，就是真实的位移。,将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理,23,称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和从弹性体的真,（1）虚位移原理无论是弹性、还是塑性情况下都成立，,但位移变分方程式仅对弹性保守系统有效。,（2）变分与微分在数学上的意义等同,都是指微小的变化，因此运算方法相同，但它们的运算对象不同：,微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数。,变分运算中，自变量是函数，因变量是函数的函数，即数学上所谓的泛函。,总势能是位移函数的泛函。对泛函求极值的问题，数学上称之为变分法,将求解弹性力学中偏微分方程的问题转化为求解势能变分问题,24,（1）虚位移原理无论是弹性、还是塑性情况下都成立，将求解弹性,（1）设满足位移边界的近似位移函数为,使用位移变分原理近似求解,=,U,V,(,a,k,，,b,k,，,c,k,),（2）求弹性体的总势能,25,（1）设满足位移边界的近似位移函数为 使用位移变分原理近似,=,a,k,b,k,0,（3）总势能变分为零，求待定系数,26,=ak,例题3 用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度,解：（1）设位移函数为,w,(,x,)=,c,1,x,(,l,x,)+,c,2,x,2,(,l,2,x,2,)+,显然，该挠度函数满足位移边界,w,(0)=,0，,w,(,l,)=0,。,（2）求总势能,（3）求总势能的极值,27,例题3 用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度（2）求总势,弹性力学基本方程,一、平衡方程,二、几何方程,三、本构关系,四、协调方程,五、边界条件(应力,位移),位移,应力,28,弹性力学基本方程一、平衡方程二、几何方程三、本构关系四、协调,虚位移原理,弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：,对于任意的、满足相容条件的虚位移，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。,总虚变形功,：,对于平面问题,：,总外力虚功,：,29,虚位移原理 弹性体处于平衡状态的必要与充分条件,最小势能原理,在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。,总 势 能：,即：形变势能,的变分表达式与,虚变形功,的表达式完全相同。,形变势能：,外力势能：,形变势能变分:,外力势能变分:,即：外力势能,的变分表达式与,外力虚功负值,的表达式完全相同。,30,最小势能原理 在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的,