电磁感应中的动力学问题“双杆”滑轨问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电磁感应和力学规律的综合应用,专题五,“双杆”滑轨问题,电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律，如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要将电磁学和力学的知识综合起来应用。,由于安培力和导体中的电流、运动速度均有关，所以对磁场中运动导体进行,动态分析,十分必要。,“双杆”滑轨问题,分析两杆的运动情况和受力情况,分析物理情景,灵活选择运动规律,B,2,1,F,m,1,=,m,2,r,1,=,r,2,l,1,=,l,2,B,2,1,v,m,1,=,m,2,r,1,=,r,2,l,1,=,l,2,杆,1,做变减速运动，杆,2,做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为,0,，以相同速度做匀速运动,0,v,t,2,1,开始两杆做变加速运动，稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动,2,1,v,t,0,滑轨问题,例1.,水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒,ab,，用恒力,F,作用在,ab,上，由静止开始运动，回路总电阻为,R,，分析,ab,的运动情况，并求,ab,的最大速度。,a,b,B,R,F,分析：,ab,在,F,作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应电流，感应电流又受到磁场的作用力,f,，画出受力图：,f,1,a,=(,F-f,)/,m,v,E,=,BL,v,I,=,E,/,R,f=BIL,F,f,2,最后，当,f=F,时，,a,=0,，速度达到最大，,F,f,F,=,f=BIL=B,2,L,2,v,m,/,R,v,m,=,FR,/,B,2,L,2,v,m,称为收尾速度,.,又解：匀速运动时，拉力,所做的功使机械能转化为,电阻,R,上的内能。,F,v,m,=,I,2,R,=,B,2,L,2,v,m,2,/,R,v,m,=,FR,/,B,2,L,2,例2.,光滑平行导轨上有两根质量均为,m,，电阻均为,R,的导体棒,1,、,2,，给导体棒,1,以初速度,v,运动，分析它们的运动情况，并求它们的最终速度。,.,2,1,v,B,对棒,1,，切割磁感应线产生感应电流,I,，,I,又受到磁场的作用力,F,E,1,I,F,F,v,1,E,1,=,BLv,1,I,=(,E,1,-,E,2,)/2,R,F=BIL,a,1,=,F,/,m,对棒,2,，在,F,作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小,E,2,a,2,=,F/m,v,2,E,2,=,BLv,2,I,=(,E,1,-,E,2,)/2,R,F,=,BIL,2,1,v,t,B,E,1,E,2,F,F,v,t,I,当,E,1,=,E,2,时，,I,=0,，,F,=0,两棒以共同速度匀速运动，,v,t,=1/2,v,例4.,光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R的导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动，分析它们的运动情况，并求它们的最终速度。.,2,1,v,B,对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F,E,1,I,F,F,v,1,E,1,=BLv,1,I=(E,1,-E,2,)/2R F=BIL a,1,=F/m,对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小,E,2,a,2,=F/m v,2,E,2,=BLv,2,I=(E,1,-E,2,)/2R F=BIL,2,1,v,t,B,E,1,E,2,F,F,v,t,I,当E,1,=E,2,时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，,v,t,=1/2 v,由楞次定律，,感应电流的效果总要阻碍产生感应,电流的原因，,1棒向右运动时，2棒也要向右运动。,2,1,v,B,杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为0，当两棒相对静止时，没有感应电流，也不受磁场力作用，以共同速度匀速运动。,由动量守恒定律:,mv=(m+m)v,t,共同速度为v,t,=1/2 v,它们的速度图象如图示：,v,t,0,2,1,v,0.5 v,04年广东 15,如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,导轨间距离为,l,，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m,1,、m,2,和R,1,、R,2,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v,0,沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。,1,M,N,P,Q,2,v,0,1,M,N,P,Q,2,v,0,解法一：,设杆2的运动速度为,v,，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势,感应电流,杆2作匀速运动,它受到的安培力等于它受到的摩擦力,导体杆2克服摩擦力做功的功率,解得,1,M,N,P,Q,2,v,0,解法二：,以F表示拖动杆1的外力，以I表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，,对杆1有 F-m,1,g-BI,l,=0 ,对杆2有 BI,l,m,2,g=0 ,外力F的功率 P,F,=Fv,0,以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有,由以上各式得,例5,(15分)如图所示,两足够长平行光滑的金属导轨,MN,、,PQ,相距为,L,导轨平面与水平面夹角30,导轨电阻不计。磁感应强度为,B,的匀强磁场垂直导轨平面向上,两根长为,L,的完全相同的金属棒,ab,、,cd,垂直于,MN,、,PQ,放置在导轨上,且与导轨电接触良好,每根棒的质量为,m,、电阻为,R,现对,ab,施加平行导轨向上的恒力,F,，当,ab,向上做匀速直线运动时，,cd,保持静止状态,（1）求力,F,的大小及,ab,运动的速度大小；,（2）若施加在,ab,上力的大小变为2,mg,，方向不变，经过一段时间后,ab,、,cd,以相同的,加速度沿导轨向上加速运动，,求此时,ab,棒和,cd,棒的速度差,(,v,v,ab,-v,cd,),M,P,Q,c,B,a,N,b,d,.解:,(1)ab棒所受合外力为零 F-F,ab,-mgsin=0 ,cd棒合外力为零 F,cd,-mgsin=0 ,ab、cd棒所受安培力为 ,解得：F=2mgsin=mg ,（2）当ab、cd以共同加速度,a,运动时，运用整体法,由牛顿定律得到,2mg-2mgsin=2m,a,以b棒为研究对象有 BIL-mgsin=m,a,由法拉第电磁感应定律,I=E2R ,上面几式联立解得 ,6,.(16分)如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中,有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨,在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A,1,和A,2,开始时两根金属杆位于同一竖直面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H，导轨宽为L,导轨足够长且电阻不计,金属杆单位长度的电阻为r。现有一质量为m/2的不带电小球以水平向右的速度v,0,撞击杆A,1,的中点,撞击后小球反弹落到下层面上的C点。C点与杆A,2,初始位置相距为S。求:,（1）回路内感应电流的最大值；,（2）整个运动过程中感应电流,最多产生了多少热量；,（3）当杆A,2,与杆A,1,的速度比,为1:3时，A,2,受到的安培力大小。,s,H,C,A,2,A,1,B,L,v,0,图11,6解：,（1）小球与杆,A,1,碰撞过程动量守恒，之后小球作平抛运动。设小球碰撞后速度大小为,v,1,，杆,A,1,获得速度大小为,v,2,，则,S=,v,1,t H=1/2 gt,2,杆在磁场中运动，其最大电动势为,E,1,=BL,v,2,最大电流,（2）两金属杆在磁场中运动始终满足动量守恒，两杆最终速度相等，设为,v,m,v,2,=2m,v,（3）设杆A,2,和A,1,的速度大小分别为,v,和3,v,m,v,2,=m,v+,3m,v v=v,2,/4,由法拉第电磁感应定律得：E,2,=BL(3,v,-,v,),安培力 F=BIL,作业一：,两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为,L,。导轨上面横放着两根导体棒,ab,和,cd,，构成矩形回路，如图所示两根导体棒的质量皆为,m,，电阻皆为,R,，回路中其余部分的电阻可不计在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为,B,设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行开始时，棒,cd,静止，棒,ab,有指向棒,cd,的初速度,v,0,若,两导体棒在运动中始终不接触，求：,在运动中产生的焦耳热最多是多少？,当,ab,棒的速度变为初速度的,3/4,时，,cd,棒的加速度是多少？,五、电磁感应中的“双杆”问题例析,导轨上的双导体棒运动问题：,1、在无安培力之外的力作用下的运动情况，其稳定状态是两棒最后达到的匀速运动状态，,稳定条件,是两棒的,速度相同,；,2、在有安培力之外的恒力作用下的运动情况，其稳定状态是两棒最后达到的匀变速运动状态，,稳定条件,是两棒的,加速度相同，速度差恒定,例1：,如图所示，两根间距为,l,的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成。其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场，其磁感应强度为B，导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m，电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60，求：,ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？,cd棒能达到的最大速度是多大？,cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？,例2：,两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示.不计导轨上的摩擦.,求作用于每条金属细杆的拉力的大小.求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量,例3：,两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v,0,若两导体棒在运动中始终不接触，求：,在运动中产生的焦耳热最多是多少 当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？,例4：,如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离,l,=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s,2,，问此时两金属杆的速度各为多少？,提高：两金属杆的最大速度差为多少？,例5：,磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面（纸面）向里。导轨的a,1,b,1,段与a,2,b,2,段是竖直的，距离为,l,1,；c,1,d,1,段与c,2,d,2,段也是竖直的