数学实验课件-对称性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,*,对称结构承受对称荷载的简化计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,简化前提（结构对称）,1.,几何形状对称,2.,刚度对称,关于对称轴对称的任一对杆段，刚度相等。,3.,约束形式对称,包含,支座的对称,和,结点的对称,。,坡屋面框架,EI,1,EI,1,EI,1,EI,1,EI,2,EI,2,EI,2,EI,2,EI,3,EI,3,EI,3,EI,3,EI,4,EI,4,EI,4,EI,4,对称结构,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,对称荷载,沿对称轴对折后，对称轴以左荷载的大小、方向和作用点，都完全与以右的荷载重合的一组荷载。,坡屋面框架,F,P1,F,P1,对称结构承受对称荷载,F,P2,F,P2,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,简化思路,力法计算的主要工作量在于求解典型方程。,式中，主系数,d,ii,0,，而,尽量使副系数和自由项等于,0,，从而,系数和自由项的计算工作量大,副系数,自由项,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,可以简化为,独立方程,和,少元联立方程,，以便求解。,简化目标,使典型方程中尽量多的副系数和自由项为,0,，以方便典型方程的求解。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,原结构,F,P,F,P,基本结构之一,对称的基本结构,基本体系,F,P,X,2,X,2,X,3,X,3,X,1,X,1,F,P,按力法步骤推导简化方法,超静定次数为3。,选择对称的基本结构。,使基本未知力满足对称性或反对称性。,写出典型方程。,着重研究,副系,数,d,ij,和,自由项,D,i,P,的计算，,找出其中为0者,。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,求副系数：,绘制 图,反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为0。即,X,2,=1,图（,对称,）,图（,对称,）,X,3,=1,X,1,=1,X,1,=1,图（,反对称,）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,求自由项：绘制,M,P,图和 图,M,P,图（,对称,）,F,P,F,P,X,1,=1,X,1,=1,图（,反对称,）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,原典型方程简化为,其中，（a）是,独立方程,，（b）是,少元联立方程,。,方程组（a）中主系数,d,11,不为零，因此,X,1,=0,。,（a）,（b）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,原典型方程最终简化为,（b）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,叠加法绘内力图,同理，最终变形也是对称的。,X,2,（对称）,+,=,M,（对称）,M,P,图（,对称,）,F,P,F,P,X,2,=1,图（,对称,）,图（,对称,）,X,3,=1,+,X,3,（对称）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,【,小结,】,对称结构承受反对称荷载时的特征,1.内力和变形是对称的；,2.对称轴截面上只有对称的内力（,X,2,和,X,3,），而反对称内力为零（,X,1,）。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,半结构法（进一步简化）,奇数跨对称结构简化方法,按结论,1,，,只需取原结构一半的基本体系计算即可,。,这样，在对称轴截面上附加,垂直于对称轴的定向支座,，就能使,半结构在受力和变形两方面都与原结构相符,。,奇数跨等效半结构,原结构,D,H,=0,q,=0,D,V,F,P,F,P,l,l,F,P,F,P,X,2,X,3,D,V,D,H,=0,q,=0,l,F,P,D,H,=0,q,=0,D,V,F,R,=,X,3,M,R,=,X,2,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,偶数对称跨结构的半结构取法,D,H,=0,D,V,=0,q,=0,原结构,F,P,F,P,F,P,F,R,x,M,F,R,y,偶数跨等效半结构,取一半，中柱去除,对称轴截面加固定支座,中柱仅有轴力。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,【,例1,】,利用对称性简化图示结构，绘其弯矩图。已知各杆,EI,相同，为常数。,解：原结构,n,=2，取其等效半结构如图。,半结构,n,=1，按力法计算其,M,图。,最后补全另一半，得原结构弯矩图。,8kN,8kN,3m,3m,3m,3m,3m,3m,A,B,C,D,E,EI,EI,8kN,3m,3m,3m,A,B,E,半结构,8kN,X,1,基本体系,1,X,1,=1,X,1,=1,图,8kN,12,图,M,图(kN,m),12,3.6,原结构,M,图(kN,m),12,12,3.6,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受对称荷载的简化计算,【,思考题,】,1.如何处理对称轴经过结构铰结点的情况？,F,P,思考题1图,F,P,等效半结构,F,P,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,简化前提（结构对称）,1.,几何形状对称；,2.,刚度对称；,3.,约束形式对称。,反对称荷载,在绕对称轴对折后，其大小相等，作用点重合，但方向相反的荷载。,坡屋面框架,EI,1,EI,1,EI,1,EI,1,EI,2,EI,2,EI,2,EI,2,EI,3,EI,3,EI,3,EI,3,EI,4,EI,4,EI,4,EI,4,F,P1,F,P2,F,P1,对称结构承受反对称荷载,F,P2,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,简化目标,使典型方程中尽量多的副系数和自由项为,0,，以方便典型方程的求解。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,按力法步骤推导简化方法,超静定次数为,3,。,选择对称的基本结构。,使基本未知力满足对称性或反对称性。,写出典型方程。,着重研究,副系,数,d,ij,和,自由项,D,i,P,的计算，,找出其中为,0,者,。,原结构,F,P,F,P,对称的基本结构,基本体系,F,P,X,2,X,2,X,3,X,3,X,1,X,1,F,P,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,求副系数：,绘制 图,反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为0。即,X,2,=1,图（,对称,）,图（,对称,）,X,3,=1,X,1,=1,X,1,=1,图（,反对称,）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,求自由项：,绘制,M,P,图和 图,X,2,=1,图（,对称,）,图（,对称,）,X,3,=1,M,P,图（,反对称,）,F,P,F,P,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,原典型方程简化为,其中，（a）是,独立方程,，（b）是,少元联立方程,。,方程组（b）为线性齐次方程组，可证明系数行列式不为零，于是,X,2,=0,，,X,3,=0,。,（a）,（b）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,原典型方程最终简化为,（a）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,叠加法绘内力图,同理，最终变形也是反对称的。,X,1,=1,X,1,=1,图（,反对称,）,M,P,图（,反对称,）,F,P,F,P,X,1,（反对称）,+,=,M,（反对称）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,【,小结,】,对称结构承受反对称荷载时的特征,1.内力和变形是反对称的；,2.对称轴截面上只有反对称的内力（,X,1,），而对称内力为零（,X,2,和,X,3,）。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,半结构法（进一步简化）,奇数跨对称结构简化方法,按结论,1,，,只需取原结构一半的基本体系计算即可,。,这样，在对称轴截面上附加,沿对称轴的活动铰支座,，就能使,半结构在受力和变形两方面都与原结构相符,。,奇数跨等效半结构,原结构,F,P,F,P,l,l,D,H,q,D,V,=0,X,1,F,P,F,P,X,1,D,H,q,D,V,=0,l,F,P,F,R,=,X,1,D,H,q,D,V,=0,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,偶数对称跨结构简化方法,(a)原结构,EI,F,P,F,P,C,(b)中柱看作双柱,EI,/2,EI,/2,F,P,F,P,C,(c)按奇数跨取半结构,EI,/2,EI,/2,F,P,F,P,C,C,F,Q,C,(d),偶数跨等效半结构,F,P,EI,/2,C,取一半，中柱刚度折半,还原时，中柱,M,、,F,Q,乘2,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,【,例1,】,利用对称性简化图示结构，绘其弯矩图。已知各杆,EI,相同，为常数。,解：原结构,n,=1，取其等效半结构如图。,该半结构为静定！直接按静力平衡条件计算，绘其弯矩图。,最后，补全另一半，得原结构弯矩图。,F,P,F,P,l,l,C,2,l,F,P,l,C,等效半结构,半结构,M,图,F,P,l,C,2,F,P,l,2,F,P,l,2,l,M,图,2,F,P,l,2,F,P,l,2,F,P,l,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,对称结构承受反对称荷载的简化计算,【,思考题,】,1.如何处理对称轴经过结构铰结点的情况？,2.如何处理对称轴上有支杆和链杆的情况？,F,P,思考题1图,F,P,等效半结构,F,P,思考题2图,F,P,F,P,EA,F,P,F,P,n,=6,F,P,n,=1,等效半结构,n,=3,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,