概率论及数理统计多维随机变量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,多维随机变量,一般地，我们称,n,个随机变量的整体,X,=(,X,1,X,2,，X,n,),为,n,维随机变量或随机向量.,二维随机变量及其分布,3.1,二维分布函数,定义,性质,2.0,F,(,x,y,)1,1.,F,(,x,y,)是变量x,y的单调不减函数。,对于任意,y,x,1,x,2,F(x,1,y)F(x,2,y),对于任意,x,y,1,X,2,),若二维随机变量（,X,Y,）具有概率密度,则称（,X,Y,）服从参数为,其中,均为常数,且,的,二维正态分布,.记作,二维正态分布,边缘分布与相互独立性,3.2,二维随机变量,（,X,Y,）,分布函数为,F,(,x,y,),而,X,Y,都是随机变量，各自具有分布函数，分别记为,F,X,(,x,),和,F,Y,(,y,),依次称为,（,X,Y,）,关于,X,和关于,Y,的边缘分布函数。,二维离散型随机变量的,边缘分布密度,i,j,=1,2,设（,X,Y,）为离散型随机变量，,则,(,X,Y)关于,X、Y,的,边缘概率分布,分别为,边缘分布密度,X,Y,a,1,a,2,.,.,.,a,i,.,.,.,b,1,b,2,.b,j,p,11,p,21,.,.,.,p,i1,.,.,.,p,12,p,22,.,.,.,p,i2,.,.,.,p,1j,p,2j,.,.,.,p,ij,.,.,.,p,j,p,i,p,1,p,2,p,j,p,1,p,2,.,.,.,p,i,.,.,.,1,例1：设袋里有五个同类产品，其中有两个是正品。现依次抽取两个,设,X、Y,份表示第一次、第二次抽取的产品。在,无放回抽取,和,有放回抽取,两种情况下分别求（,X,Y,）的关于X,Y的边缘分布密度。,设（,X,Y,）的分布密度为,f,(,x,y,),则关于,X,和关于,Y,的,边缘分布密度,分别为,二维连续型随机变量的,边缘分布密度,随机变量的独立性,如果二维随机变量（,X,Y,）满足,对任意,x,y,有,则称,X,Y,相互独立.,离散型,连续型,例2 已知X、Y独立,完成下面表格。,X,Y,1,2,p,.j,123p,i.,1/8,1/8,1/6,1,例4：设（,X,Y,）在区域G（0,y,2,x+,2,-1,x,0，则称,为在,Y,=,y,j,条件下随机变量,X,的条件概率函数.,P(,X,=,x,i,|,Y,=,y,j,)=,，,i,=1,2,联合分布,边缘分布,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.,例如：,i,=1,2,X,Y,1,0,10,1/103/10,3/103/10,例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在,X=1和X=0条件下，Y的分布密度。,连续型,r.v,的条件分布,定义,设X和Y的联合概率密度为,f,(,x,y,),边缘概率密度为 ，则对一切使,的,x,定义已知,X,=,x,下，,Y,的条件,密度函数为,同样，对一切使 的,y,定义,为已知,Y,=,y,下，,X,的条件密度函数.,定义,例2：设二维随机变量（X,Y）的分布密度为：,求(X,Y)关于X和Y的条件分布密度。,例3：设数,X,在区间(0,1)均匀分布，当观察到,X=x,(0,x,1)时，数,Y,在区间(,x,1)上随机地取值，求,Y,的概率密度,。,