初始条件与边界条件课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,初始条件与边界条件,特定条件,准确说明对象的初始状态以及边界上的约束条件。,用以说明初始状态的条件称为“,初始条件,”；,用以说明边界上约束情况的条件称为“,边界条件,”。,偏微分方程,特定条件,描述物理现象：,初始条件,弦振动问题,：初始条件是指弦在开始振动时刻的位移和速度。如果以,f,(,x,),和,g,(,x,)分别表示弦的初位移和初速度，则初始条件可以表达为,初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。,热传导问题,：初始条件是指开始传热的时刻物体温度的分布情况。若以,f,(,M,),表示,t=0,时物体内一点,M,的温度，则热传导问题的初始条件可以表示为,泊松方程和拉普拉斯方程,：描述稳恒状态，与时间无关，所以不提初始条件。,不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。,关于,t,的,n,阶偏微分方程，要给出,n,个初始条件。,初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而,非系统中个别点的初始状态。,注意：,边界条件,边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一般把边界条件分为三类。设,u,是未知函数，,S,为边界，则分类如下：,第一类边界条件,：直接给出,u,在边界,S,上的值,弦振动问题,：如果弦的两端是固定的，也就是说端点无位移，则其边界条件为,若弦的两端不是固定的，而是按照规律 在运动,则其边界条件为,热传导问题,：当物体与外界接触的表面温度,f,(,M,t,),已知时，其边界条件为,第二类边界条件,：给出,u,沿,S,的外法线方向的,方向导数,弦振动问题,：弦的一端（如,x=l,）可以在垂直,x,轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。,在这一端点，边界上的张力沿垂直于,x,轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知 ,即,当该点处的张力沿垂直,x,轴的方向的分量是,t,的已知函数 时，有,热传导问题,：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件,当物体与外界接触的表面,S,上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在,S,上有 ，这表明温度沿外法线方向的方,向导数是已知的，故边界条件可以表示为,第三类边界条件,：给出,u,以及 的线性组合,在边界的值，即,弦振动问题,：当端点,x=l,被弹性支撑所支承，设弹性支撑原来位置在,u=,0,，则 表示弹性支撑的应变。,由Hooke定律知，在,x=l,端张力沿位移方向的分量,应等于 ,即有,其中非负常数,k,表示弹性体的倔强系数,热传导问题,：如果物体内部通过边界,S,与周围的介质有热量交换，这时能测量到物体与接触处的介质的温度 。通常情形下，与物体在表面,S,上的温度,u,不相同。根据热学中的牛顿实验定律，物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间的温度差成正比，即 ，其中常数,表示两种介质之间的热交换系数。,在物体内部任意取一个无限贴近,S,的闭曲面 ，由于在,S,的内侧热量不能积累，所以在 上的热量流速应等于边界,S,上的热量流速。上的热量流速为 ，其中,k,为热传导系数.,所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件为,即,其中,在上面给出的边界条件中，都是定义在边界,S,上（通常也依赖于,t,）的已知函数。,当 时，相应的边界条件称为,齐次,的，否则称为,非齐次的,。,注1,注2,三种边界条件可用一个式子表达：,其中,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,1.3,定解问题的提法,初始条件和边界条件都称为,定解条件,。,定解问题,是指偏微分方程和相应定解条件的结合体。,偏微分方程和相应初始条件构成的定解问题称为,初值问题,或者,柯西(Cauchy)问题,。,波方程的Cauchy问题,由偏微分方程和相应边界条件构成的定解问题称为,边值问题。,Laplace方程的边值问题,由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成的定解问题称为,混合问题,。,热传导方程的混合问题,一个定解问题的,适定性,(Well-posedness)包含以下几个方面：,1）解的,存在性,，即所提的定解问题是否有解；,3）解的,稳定性,，即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，否则称解是不稳定的。,2）解的,唯一性,，即所提的定解问题是否有唯一的解；,例,设弦的两端固定于,x=,0,和,x=l,，弦的初始位移如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。,解：,一般二阶线性偏微分方程（,n,个自变量）,两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式,线性方程的叠加原理,称形如,的符号为,微分算子,。,二阶偏微分方程,可简写为,定解条件,可简写为,例,非齐次波动方程的Cauchy问题,的解等于问题(I)和问题(II)的解之和,课后作业,P17 习题一,1.5.,