倒易点阵介绍重点课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,倒易点阵,倒易点阵几何,衍射条件,爱瓦尔德图解法,粉末衍射法,2,倒易点阵简介,布拉格公式作为结构分析的数学工具,在大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射效应是布拉格公式无法解释的,例如非布拉格散射就是如此,.,倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠定了基础,.,3,倒易点阵几何,倒易点阵的概念,倒易点阵的定义,倒易,点阵的性质,晶带定理,4,倒易点阵的概念,倒易点阵是一个假想的点阵,.,将空间点阵,(,真点阵或实点阵,),经过倒易变换,就得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒易空间。,5,倒易点阵的定义,设正点阵的原点为,O,，基矢为,a,、,b,、,c,，倒易,点阵的原点为,O,*,，基矢为,a,*,、,b,*,、,c*,，则有：,a,*,=,b,c/,V,b,*,=,c,a/,V,c*,=,a,b/,V.,式中，,V,为正点阵中单胞的体积：,V=,a,(,b,c,),=,b,(,c,a,),=,c,(,a,b,),表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基矢所成平面,6,倒易,点阵的性质,1.,正倒点阵异名基矢点乘为,0,;,a,*,b,=,a,*,c,=,b,*,a,=,b,*,c,=,c*b,=0,同名基矢点乘为,1,。,a,*,a,=,b,*,b,=,c*c,=1.,2.,在倒易,点阵中，由原点,O,*,指向任意坐标为,hkl,的阵点的矢量,g,hkl,(,倒易矢量,),为：,g,hkl,=h,a,*,+k,b,*,+l,c*,式中,hkl,为正点阵中 的晶面指数,3.,倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即,g,hkl,=1/,d,hkl,4.,对正交点阵，有,a,*,a,，,b,*,b,，,c*,c,，,a,*,=1/a,，,b,*,=1/b,，,c*=1/c,，,5.,只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量,g,hkl,是与相应指数的晶向,hkl,平行的。,7,g,hkl,=h,a,*,+k,b,*,+l,c*,表明：,1.,倒易矢量,g,hkl,垂直于正点阵中相应的,hkl,晶面，或平行于它的法向,N,hkl,2.,倒易,点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面,8,晶带定理,在正点阵中，同时平行于某一晶向,uvw,的一组晶面构成一个晶带，而这一晶向称为这一晶带的晶带轴。,图示为正空间中晶体的,uvw,晶带,图中晶面（,h,1,k,1,l,1,）、（,h,2,k,2,l,2,）、（,h,3,k,3,l,3,）的法向,N,1,、,N,2,、,N,3,和倒易矢量,g,h1k1l1,、,g,h2k2l2,、,g,h3k3l3,的方向相同,.,晶带定理：因为各倒易矢量都和其晶带轴,r,=uvw,垂直，固有,g,hkl,r,=0,，即,hu+kv+lw=0,这就是晶带定理。,衍射条件,设,:,入射线波长为,入射线方向为单位矢量,S,0,衍射线方向为单位矢量,S,那么在,S,方向有衍射线的条件是,:,在与,S,方向相垂直的波阵面上,晶体中各原子散射线的位向相同。,先计算原点,O,和任一原子,A,的散射线在与,S,方向的位向差。,S,S,0,(S-S,0,),g,hkl,1,2,m,n,O,A,(HKL),相应的位向差为,其中,p,、,q,、,r,是整数,因为,S,0,是入射线方向单位矢量,S,是衍射线方向为单位矢量，因此,S-S,0,是,矢量，则：,现在不明确,h,、,k,、,l,一定是整数。由：,可见，只有当,=2,n,时，才能发生衍射，此时,n,应为整数。,由于,p,、,q,、,r,是整数，因此满足衍射条件时,h,、,k,、,l,一定是整数。于是得到结论：,满足衍射条件的矢量方程。,X,射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方程均可由该矢量方程导出。,12,布拉格方程推导,S-S,0,=Ssin,+,S,0,sin,=,2sin,(S-S,0,)/,=,2sin,)/,=,g,hkl,=1/d,2,d,sin,=,S,S,0,(S-S,0,),g,hkl,1,2,m,n,O,A,(HKL),13,Ewald,作图法,Ewald,图解是衍射条件的几何表达式。,sin,=,/,2,d,令,d=,/,g,hkl,（此时比例系数用,X,射线的波长）,则,sin,=,g,hkl,/,2,即某衍射面（,hkl,）所对应的布拉格角的正弦等于其倒易矢量长度的一半。,Ewald,图解,入射线,反射线,反射球,反射方向,B,A,P,O,1,g,(hkl),2,15,1,、设以单位矢量,S,0,代表波长为,的,X-RAY,照射在晶体上并对某个,hkl,面网产生衍射，衍射线方向为,S,，二者夹角为,2,。,2,、定义,S=S-S,0,为衍射矢量，其长度为：,S=S-S,0,=2sin /=1/d,Ewald,作图法,2,S/,S,0,/,O,A,1/,P,3,、,S,长度为,1/d,，方向垂直于,hkl,面网，所以,S=,g,*,即：,衍射矢量就是倒易矢量,。,4,、可,以,A,点为球心，以,1/,为半径作一球面，称为反射球（,Ewald,球）。衍射矢量的端点必定在反射球面上,2,S/,S,0,/,O,A,1/,P,5,、,以,S,0,端点,O,点为原点，,作倒易空间，某倒易点（代表某倒易矢量与,hkl,面网）的端点如果在反射球面上，说明该,g,*=S,满足,Braggs Law,。某倒易点的端点如果不在反射球面上，说明不 满足,Braggs Law,，可以直观地看出那些面网的衍射状况。,2,S/,S,0,/,O,A,1/,P,入射矢量,S,0,、,衍射矢量,S,及倒易矢量,g,*,的端点均落在球面上,S,的方向与大小均由,2,所决定,g,2,S,0,2,A,O,S,S,S,g,1,g,3,P,1,P,2,P,3,19,Ewald,球与极限球,A,O,1/,hkl,S,/,S,0,/,凡是处于,Ewald,球面上的倒易点均符合衍射条件,若同时有,m,个倒易点落在球面上，将同时有,m,个衍射发生，衍射线方向即球心,A,与球面上倒易点连线所指方向。,即,Ewald,球不动，围绕,O,点,转动倒易晶格，接触到球面的倒易点代表的晶面均产生衍射（周转晶体法的基础）。,C,O,1/,hkl,S,/,S,0,/,增大晶体产生衍射几率的方法,(1),入射方向不变，转动晶体,增大晶体产生衍射几率的方法,(2),波长连续，使,Ewald,球的数量增加，即球壁增厚（,Laue,法）,A,O,1/,hkl,S,/,S,0,/,（,3,）,Ewald,球不动，增加随机分布的晶体数量，相当于围绕,O,点,转动倒易晶格，使每个倒易点均形成一个球（倒易球）。（粉晶法的基础）,A,O,1/,hkl,S,/,S,0,/,增大晶体产生衍射几率的方法,倒易球,Direction of,direct beam,Direction of,diffracted ray,Sphere of reflection,hkl,S,/,S,0,/,C,1/,2,O,Limiting sphere,g,极限球,衍射的极限条件,可见，能获得衍射的最大倒易球半径为,g=1/d,2/,:,即 的晶面不可能发生衍射,25,(1),晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这一客观事实的抽象，有严格的物理意义。,(2),倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。,(3)Ewald,球本身无实在物理意义，仅为数学工具。但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描述了,X,射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶体衍射有力手段。,关于点阵、倒易点阵及,Ewald,球的思考,26,概念回顾,以,A,为圆心，,1/,为半径所做的球称为反射球，这是因为只有在这个球面上的倒易点所对应的晶面才能产生衍射。有时也称此球为干涉球，,Ewald,球。,围绕,O,点,转动倒易晶格，使每个倒易点形成的球,称为,倒易球,以,O,为圆心，,2/,为半径的球称为极限球,。,