韦达定理讲解

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,韦达定理,执教者：虞申君,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的求根公式：,X,1,2,=,算一算,（,1,）,x,2,-7x+12=0,(2)x,2,+3x-4=0,(3)2x,2,+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,方程,两根,两根和,X,1,+x,2,两根积,x,1,x,2,x,1,x,2,x,2,-7x+12=0,x,2,+3x-4=0,2x,2,+3x-2=0,3,4,12,7,1,-3,-4,-4,-1,-,-2,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的两个根是,X,1,X,2,那么,X,1,+,x,2,=,X,1,x,2,=,-,（韦达定理）,注：能用韦达定理的前提条件为,0,韦达（,1540,1603,）,韦达定理的证明：,X,1,+x,2,=,+,=,=,-,X,1,x,2,=,=,=,=,如果方程,x,2,+px+q=0,的两根是,X,1,，,X,2,，那么,X,1,+X,2,=,X,1,X,2,=,P,q,推论,说一说：,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,1,、,x,2,-2x-1=0,2,、,2x,2,-3x+=0,3,、,2x,2,-6x=0,4,、,3x,2,=4,x,1,+x,2,=2,x,1,x,2,=-1,x,1,+x,2,=,x,1,+x,2,=3,x,1,+x,2,=0,x,1,x,2,=,x,1,x,2,=0,x,1,x,2,=-,典型题讲解：,例,1,、已知,3x,2,+2x-9=0,的两根是,x,1,x,2,。,求：,(1)(2)x,1,2,+x,2,2,解：,由题意可知,x,1,+x,2,=-,x,1,x,2,=-3,(1),=,=,=,(2),(x,1,x,2,),2,x,1,2,+x,2,2,2x,1,x,2,x,1,2,+x,2,2,(x,1,x,2,),2,-2x,1,x,2,(-),2,-2(-3),6,典型题讲解：,例,2,、已知方程,x,2,-(k+1)x+3k=0,的一个根是,2,求它的另一个根及,k,的值。,解：,设方程的另一个根为,x,1,.,把,x=2,代入方程，得,4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得,k=-2,由韦达定理，得,x,1,2,3k,即,2 x,1,6,x,1,3,答：方程的另一个根是,3 ,k,的值是,2,。,典型题讲解：,例,2,、已知方程,x,2,-(k+1)x+3k=0,的一个根是,2,求它的另一个根及,k,的值。,解二：,设方程的另一个根为,x,1,.,由韦达定理，得,x,1,2=k+1,x,1,2=3k,解这方程组，得,x,1,=,3,k=,2,答：方程的另一个根是,3 ,k,的值是,2,。,你会做吗？,你会做吗？,已知,x,1,x,2,是方程,3x,2,+px+q=0,的两个根，,分别根据下列条件求出,p,和,q,的值,:,(1)x,1,=,1,x,2,=2,(2)x,1,=,3,x,2,=-6,(3)x,1,=,-,x,2,=,(4)x,1,=,-2+,x,2,=-2-,由韦达定理，得,解：,x,1,+x,2,=-,x,1,x,2,=,p=-3(x,1,+x,2,)q=3 x,1,x,2,(1)p=-9 q=6,(2)p=9 q=-54,(3)p=0 q=-21,(4)p=12 q=-3,试一试,1,、已知方程,3x,2,19x+m=0,的一个根是,1,，求它的另一个根及,m,的值。,2,、设,x,1,x,2,是方程,2x,2,4x,3=0,的两个根，求,(x,1,+1)(x,2,+1),的值。,解：设方程的另一个根为,x,1,则,x,1,+1=,x,1,=,又,x,1,1=,m=3x,1,=16,解：,由韦达定理，得,x,1,+x,2,=-2,x,1,x,2,=,(x,1,+1)(x,2,+1)=x,1,x,2,+(x,1,+x,2,)+1=-2+()+1=,今天我学会了,.,1,、,韦达定理,及其,推论,2,、利用韦达定理解决有关一元二次方程,根与系数问题时，,注意两个隐含条件：,（,1,）二次项系数,a0,（,2,）根的判别式,0,拓广探索,1,、当,k,为何值时，方程,2x,2,-(k+1)x+k+3=0,的两根差为,1,。,解：设方程两根分别为,x,1,x,2,(x,1,x,2,),，则,x,1,-x,2,=1,(x,2,-x,1,),2,=(x,1,+x,2,),2,-4x,1,x,2,由韦达定理得,x,1,+x,2,=,x,1,x,2,=,解得,k,1,=9,k,2,=-3,当,k=9,或,-3,时，由于,0,，,k,的值为,9,或,-3,。,2,、设,x,1,，,x,2,是方程,x,2,-2(k-1)x+k,2,=0,的两个实数根，且,x,1,2,+x,2,2,=4,，求,k,的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即,-8k+40,由韦达定理得,x,1,+x,2,=2(k-1),x,1,x,2,=k,2,X,1,2,+x,2,2,=(x,1,+x,2,),2,-2x,1,x,2,=4(k-1),2,-2k,2,=2k,2,-8k+4,由,X,1,2,+x,2,2,=4,，得,2k,2,-8k+4,4,解得,k,1,=0 ,k,2,=4,经检验，,k,2,=4,不合题意，舍去。,k=0,谢谢！,