初等模型数学建模

, , , , ,Click To Edit Title Style,*, , , , , ,Click To Edit Title Style,*,初等模型,多元函数模型,问题,5【,居民电费模型,】,在中国有些地区，由于电力紧张，政府鼓励,“,错峰,”,用电。四川省电网居民生活电价表（单位：元,/kwh,）规定,“,一户一表,”,居民生活用电收费标准如下：,1.,月用电量在,60kwh,及以下部分，每日,7:00,23:00,期间用电， 每千瓦时,0.4724,元；,23:00,次日,7:00,期间用电，每千瓦时,0.2295,元。,2.,月用电量在,61,至,100kwh,部分，每千瓦时提高标准,0.08,元。,3.,月用电量在,100,至,150kwh,部分，每千瓦时提高标准,0.11,元。,4.,月用电量在,150kwh,及以上部分，每千瓦时提高标准,0.16,元。,根据以上规定，建立该地,“,一户一表,”,居民用电量与电费之间的函数关系模型。若某户居民,6,月份的用电量为：,7:00,23:00,期间用了,200kwh,，,23:00,次日,7:00,期间用了,100kwh,，请计算这户居民,6,月份应缴纳的电费。根据所建立的模型为居民提供一个合理化的用电建议。,一 模型的假设,1.电表能准确地显示每户居民各时段的月用电量，且无公摊。,2.假设收费标准按月执行,二 变量说明,Z 一户一表居民的月电费,x 居民一个月内在时段7：0023：00的用电量,y 居民一个月内在时段23：00次日7：00的用电量,三 模型的分析和建立,四 模型的求解,这里x=200，y=100,因x+y=300150，,所以将x=200，y=100代入电费模型中第四个,得Z=150.13元,五 模型的结果,六 模型的推广,问题6 手机资费模型,一 模型的假设,1.假设北京移动公司全球通“畅听99”共推出了4种手机套餐方案。第i种（i=1,2,3,4）依次对应表中从上到下的第i种方案。,2.假设套餐费用按月计算，不累计到下月。,二 变量说明,yi 北京移动公司全球通“畅听99”第i种方案的资费,x 手机的本地主叫时间,ai 第i种方案的月基本费,bi 第i种方案中包含本地主叫分钟数,ci 第i种方案中超出套餐部分本地主叫资费,fi 第i种方案中除去月基本费和超出套餐部分本地 主叫费的费用,三 模型的建立,四 模型的求解,四 模型的推广,几何模型,问题7 切割钢板的优化模型,一道生产工序是用冲床从1m*1m的钢板上压切下100块直径为0.1m的小圆板，请设计一个切割方案，尽量减少损耗。请问该圆板还能压切出更多的小圆板吗？,一 模型的准备,在生产车间，如何下料使浪费最少主要取决于下料的方式,本问题等同于在一正方形的纸板上裁剪一些大小相同的圆，使剩余的纸屑面积最小。,我们可以先用圆规在纸上画圆的方法帮助分析。,事实上有多种裁剪方式，方式（1）如图2-3所示，方式（2）如图2-4所示，以及更多方式。,但要使浪费的材料最少，我们可以只考虑这两种方式。,二 模型的假设,1.假设冲床能高精度的切割，使圆与圆彼此相切。,2.假设不考虑钢板大小和圆的大小误差。,3.假设各种切割方式都不产生废品,4.假设圆与圆的接触形式为以下两种，且方式不混合：,（1）4圆相切，呈正方形排列,（2）6圆相切，呈三角形排列,三 变量说明,l 钢板的长,d 钢板的宽,D 圆板的直径,r 圆板的半径,N 圆板的数量,S1 圆板的总面积,S 钢板的面积,W 损耗,四 模型的建立及求解,此时.,先考虑圆成正方形排列的情形,如图一所示.通过粗略的测算和分析,可知这时横、纵方向均可压切10个半径为0.05m的圆，共可压切1010=100个小圆板。,100个小圆板的面积为,钢板面积为,损耗为,利用图,2-5,可以计算切割圆板的层数。此时，中间每层圆板的高度为,，边上第一层圆心与最后一层圆板圆心到钢板边缘的高度之和为,2r,.设切割圆板的层数为,n,，则它应满足,将,d=1,r=0.05,代入上式，得,n=11,.从而可从钢板上压切106+95=105个小圆板，大于按正方形排列时压切100个小圆板的数量.,105个圆的面积为,钢板面积不变,损耗为,五 模型的结果,要切出100块小圆板，可以按四圆相切，呈正方形排列的方式切割，一排十个，十排。一共一百个。,如果按六圆相切，呈三角形排列的方式切割，可切出更多的圆（105个）。,六 模型的推广,排列组合及其他模型,基本计数原理,这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的,1. 加法原理,设完成一件事有,m,种方式，,第一种方式有,n,1,种方法，,第二种方式有,n,2,种方法,；,第,m,种方式有,n,m,种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共,有,n,1,+,n,2,+ +,n,m,种方法 .,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3,+ 2,种方法,回答是,则完成这件事共有,种不同的方法 .,2. 乘法原理,设完成一件事有,m,个步骤，,第一个步骤有,n,1,种方法，,第二个步骤有,n,2,种方法,；,第,m,个步骤有,n,m,种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,一 模型的假设,1.线路一与线路二不能交叉,2.只能在旅行社提供的线路中考虑，,3.在西安转机到北京的航班可以考虑不在同一天。,二 模型的分析和建立,三 模型的结果,如果小张必选北京，则他有八种选择方案,如果成都到北京必须在西安转机，且成都到西安有2个航班，西安到北京有3个航班，则小张从成都到北京有6种不同的航班安排方式。,问题9【比赛场次模型】,某次网球单打比赛分两个阶段进行.,第一阶段为预赛,按分组单循环赛进行,共分成四组,每组n个人。,第二阶段为决赛，实行淘汰赛，由各小组的前二名参加，最终决出冠军。,问冠军至少要打多少场比赛？,一问题的分析,二 模型的假设,假设无运动员缺赛,三 模型的建立和求解,四 模型的推广,如果这次比赛的初赛和决赛均实行淘汰赛，问冠军至少要打多少场比赛？,问题10【排队打水模型】,每天下午5:00至5:30之间开水房的拥塞每位同学都深有感触，有些人喜欢一个人占几个水龙头，对每个人来讲，最好的办法是在不违反排队顺序的前提下尽可能早的接触水龙头。事实上大家也基本上是这样做的。,试分析最节省时间的打水方案。,一 模型的假设,1.假设有2个水龙头，有2n个人来打水，每人两个壶。,2.假设每打一壶水需要的时间固定。,二 变量说明,t 打一壶水需要的时间,三 模型的建立,下面考虑两种排队打水方式：,方式A（经验方法）：两个人同时各用一个水龙头。相当于有2列，,每列的情况为：第1人需要2t min,则n个人都花了2t min,第二人的打水时间为2t，,则一共有(n-1)个人花了2tmin,以此类推，,其中一列打完需要的时间为：,2t*n+2t*(n-1)+.+2t=2t(1+2+。+n)=tn(n+1),则2n个全打完。,共需要时间,2tn(n+1),方式B：只有1列，每次分配水龙头时都优先满足最前面的一个人。,这样，第一个人先用两个水龙头，要t min,等他打完了第二个人再用。,第2个人的等待时间和打水的时间共为t+t=2t min,，,以此类推，将2n个水壶打满水，共需要的时间为,t,(1+2+3+,+2n)=tn(n+1)/2.,四 模型的求解,如果n=5.t=1,方式A需要的时间为：,2*1*5*(5+1)=60（min）,方式B需要的时间为:,1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(min),五 模型的结果,按照方式B打水更有效率。也就是说。一个人同时使用两个水龙头。,初等模型在比赛中的应用,1999年D题 钻井布局,2000年D题 空洞探测,2001年C题 基金使用计划,2007年C题 手机套餐优惠几何,2009年C题 卫星定位地面监测,