实验--用复摆测量刚体的转动惯量课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,2017/2/7,#,实验,用复摆测量刚体的转动惯量,实验 用复摆测量刚体的转动惯量,1,在重力作用下能绕某固定水平轴摆动的刚体称做复摆，,又称物理摆。复摆的摆动中心称为撞击中心。机器中有些必须经受碰撞的转动件，如离合器、冲击摆锤等，为防止巨大瞬时力对轴承的危害，应使碰撞冲击力通过撞击中心。复摆实验是一个传统的实验，,通常用于研究周期与物体摆动中心及摆轴位置的关系，,也用于测定重力加速度。,在重力作用下能绕某固定水平轴摆动的刚体称做复摆，又称物,2,一、实验目的,(1),学习对长度和时间的较精确的测量。,(2),掌握测量重力加速度的方法,并加深对刚体转动理论的理解。,(3),学习用作图法处理、分析数据。,二、实验仪器,JD-2,物理摆、光电计时器等。,一、实验目的,3,1.,单摆,单摆的工作原理如图,3-4-1,所示。单摆球的质量为,m,当球的半径远小于摆长,l,时,应用动量矩定理,在直角坐标系下可得小球自由摆动的微分方程为,(3-4-1),式中,t,为时间,g,为重力加速度,l,为摆长。,当,1,(rad),很小时,(3-4-2),则式,(3-4-1),可简化为,(3-4,-3),1.单摆(3-4-1)式中,t为时间,4,图,3-4-1,单摆的工作原理,图 3-4-1 单摆的工作原理,5,令,(3-4-4),则式,(3-4-3),的解为,(3-4-5),式中,10,、,的值由初始条件所决定。,由式,(3-4-4),可得单摆周期为,(3-4-6),令(3-4-4)则式(3-4-3)的解为,6,2.,物理摆,一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图,3-4-2,所示,设物理摆的质心为,C,质量为,M,悬点为,O,绕,O,点在铅直面内转动的转动惯量为,J,0,OC,距离为,h,。在重力作用下,由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为,(3-4-7),令,(3-4-8),2.物理摆(3-4-7)令(3-4,7,仿照单摆,在,很小时,式,(3-4-7),的解为,(3-4-9),(3-4-10),图,3-4-2,物理摆,(,复摆,),仿照单摆,在很小时,式(3-4-7)的解为(,8,设摆体沿过质心,C,的转动惯量为,J,C,则由平行轴定理可知,:,(3-4-11),将式,(3-4-11),代入式,(3-4-10),可得,(3-4-12),式,(3-4-12),就是物理摆的自由摆动周期,T,。,设摆体沿过质心C的转动惯量为JC,则由平行轴定理可知:(,9,令,J,=,Ma,2,a,称为回转半径,则有,(3-4-13),因为对任何,J,C,都有,J,C,M,所以式,(3-4-13),的,T,与,M,无关,仅与,M,的分布,(,C,点,),相关。,令J=Ma2,a称为回转半径,则有(3-4-,10,1),一次法测重力加速度,g,由式,(3-4-12),可得出,(3-4-14),因此,测出式,(3-4-14),右端各量即可得,g,。摆动周期,T,用数字计时器可直接测出,;,M,可用天平称出,;,C,点可用杠杆平衡原理等办法求出。对于形状等规则的摆,J,C,可以通过计算得出。,1)一次法测重力加速度g(3-4-14)因此,11,2),二次法测重力加速度,g,一次法测,g,虽然简明,但有很大的局限性,特别是对于不规则物理摆,J,C,就难以确定,为此采用如下“二次法”测,g,。,当,M,及其分布,(,C,点,),确定以后,通过改变,h,值,作两次测,T,的实验,运用式,(3-4-12),可得,2)二次法测重力加速度g,12,即,(3-4-15),(3-4-16),联立解式,(3-4-15),、,式,(3-4-16),可得出,(3-4-17),这样就消去了,J,C,。因此，式,(3-4-17),测,g,就有着广泛的适用性。另外,从式,(3-4-17),可十分明确地看到,T,与,M,的无关性。,即(3-4-15)(3-4-16)联立解式(3-4,13,虽然任意两组,(,h,1,T,1,),、,(,h,2,T,2,),实测值都可以由式,(3-4,17),算出,g,但是对于一个确定的物理摆究竟选取怎样的两组,(,h,T,),数据,才能得出最精确的,g,的实测结果呢？为此必须研究,T,(,h,),关系。将式,(3-4-12),平方,可得出,(3-4-18),从上式可以看出,T,2,与,h,的关系大体为一变形的双曲线型图线。当,h,0,时,T,;,当,h,时,T,。可见,在,h,的某一处一定有一个凹形极小值。为此,对式,(3-4-18),作一次求导并令其为,0,即由可得,(3-4-19),(3-4-20),虽然任意两组(h1,T1)、(h2,T2)实测值都可以,14,即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量。亦即在,h,=,a,处所相应的,T,为极小值。,(,为什么？,),为研究,T,(,h,),关系,在,0.6m,长的扁平摆杆上,每间隔,2cm,均匀钻出直径为,1cm,的,28,个孔,并以此作为,O,点的,H,i,值,(,i,=1,2,3,14),于是可得出如图,3-4-3,所示的曲线。,即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量。亦即在,15,图,3-4-3,摆动周期,T,与摆轴离中心距离,h,的关系,图 3-4-3 摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系,16,在共轭的,A,，,B,二极小,T,值点以上，沿任一,T,h,画一条直线，交图线于,C,，,D,，,E,，,F,四点；皆为等,T,值点，错落的两对等,T,值间的距离（,h,D,+h,E,）,=h,C,+h,F,被称为等值单摆长。为理解这一点，将（,4-17,）式的,T,1,与,T,E,（或,T,D,）对应，,T,2,与,T,F,（或,T,C,）对应，,h,1,为与,T,1,对应的,h,E,，,h,2,为与,T,2,对应的,h,F,，并将,(4-17),式改形为：,(3-4-22),式,(3-4-22),与式,(3-4-17),的等同性可用代数关系进行验证。从式,(3-4-22),可知,当,T,1,=T,2,=T,时,即为单摆的周期公式,(3-4-6),故将,h,E,+h,F,、,h,C,+h,D,称为等值单摆长。,在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一T h画一条直线，,17,可倒摆,为提高测的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心,C,点随即被改变，图,4-3,的图线也随之改变，特别是,T,C,（即,T,1,），,T,F,（即,T,2,）所相应的,h,C,（即,h,1,），,h,F,（即,h,2,）也随之改变。但曲线的形状依归。所以，用此时的,T,（,=T,F,=T,C,）和,h,1,（,=h,C,），,h,2,（,=h,F,）按（,4-22,）式来计算出。,当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用,T,C,T,F,的实测值，这时（,4-22,）式的右端的第,2,项仅具很小的值。所以（,T,1,T,2,）很小，而（,h,1,h,2,）较大。,所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出,T,1,后，将摆倒置过来，从远端测出大于,T,1,的值然后逐渐减,h,2,直至,T,2,小于,T,1,为止。,可倒摆,18,将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（,4-22,）式就称为可倒摆计算式。,摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。,由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。,将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）,19,四、实验内容与步骤,安装、调节好仪器以后，进行如下操作：,(1),测出无锤摆杆的,T,(,H,),关系,(,可只测,1/2,摆杆,),。,(2),测出两个加锤摆的,T,1,(,X,),、,T,2,(,X,),关系。两摆锤的形状、尺寸须相同,而质量不同。,(3),按原理所述,进行数据处理。,(,数据表格自列,),四、实验内容与步骤,20,五、注意事项,(1),摆幅,A,须小于,1,。若按,R,=0.3m(,摆杆,)+0.03m(,摆针,)=3,30 mm,计,2,倍振幅,则,(2),摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触。若不密切接触则调节底脚螺钉,否则会影响实验测量。,(3),周期,T,的测量建议以,t,=10,T,为宜,即,。,五、注意事项(2)摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触,21,六、思考题,(1),试证明二次法测,g,的公式,(3-4-17),等效于卡特公式,(3-4-22),。,(2),为什么不能用图,3-4-3,的,C,点的,(,T,1,h,1,),值和,F,点的,(,T,2,h,2,),值来计算重力加速度,g,值,而须用,(F,D),或,(,F,E,),来计算,g,?,(3),试述用摆动法测量任意形状物体对任一指定轴的转动惯量的实验步骤,(,设当地的重力加速度,g,已知,),。,六、思考题,22,附注,锤移效应,设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为,M,质心为,C(,设为坐标原点,),摆心为,O,CO,距离为,h,质心,C,处与摆心,O,处沿,OZ,轴的转动惯量为,J,C,、,J,0,。以上条件皆固定不变,然后再加一个圆柱形的摆锤,锤的回转半径为,r,质量为,m,正轴与上述各轴平行。锤移动沿,CO,方向为,+,X,。置锤于,X,处,如图,3-4-4,所示。,(3-4-23),质心变为,C,则由力矩平衡原理可得出,(3-4-24),附注 锤移效应 设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M,质,23,图,3-4-4,加锤摆,图 3-4-4 加锤摆,24,所以新的摆长为,(3-4-25),由平行轴定理,可得,(3-4-26),设重力加速度,g,已知,(,不变,),则由动量矩定理，仿照式,(3-4-7),、式,(3-4-10),，可知带锤摆的摆动方程式为,(3-4-27),所以新的摆长为(3-4-25)由平行轴定理,25,1.,加锤摆的周期公式,加锤摆的周期公式,T,m,为,（,4-28,）,在研究锤移效应时，令（固定不变）：,(3-4-29),(3-4-30),1.加锤摆的周期公式（4-28）在研究锤移效应时，令（,26,所以有,(3-4-31),由式,(3-4-31),可以看出：,加锤摆的周期公式与无锤摆的周期公式形式相似,即原,T,(,h,),关系与现在,T,m,(,X,),关系相似,(,此时,h,为固定常数,),。,由于,X,的取向等原因,T,m,(,X,),相当于图,3-4-3,曲线的左叶,T,m,(,X,),的渐近线为,即时,T,m,。而,X,的负向则为,X,时,T,m,。,注,:,若,则,T,m,为复数,(,无意义,),。,所以有(3-4-31)由式(3-4-31,27,加锤摆的周期公式存在着极,(,小,),值。,所以应有,(3-4-32),因为,并令,所以有,加锤摆的周期公式存在着极(小)值。所以应有(3-4,28,令,代入,可得,(3-4-33),令 代入 可得(3-4-33),29,因此,因此,30,分子、分母都除以,2,m,(,根号内除以,4,m,2,),可得,(3-4-34),因此,X,一定有解,T,有极值,T,(,X,),。,分子、分母都除以2m(根号内除以4m2),可得(3-,31,2.,零质量摆锤的周期公式,T,m,=0,将,m,=0,代入式,(3-4-28),中,可得,(3-4-35),2.零质量摆锤的周期公式Tm=0(3-4-35,32,3.,摆锤周期的特点,周期,T,m,与,T,h,(,即,m,=0,时的,T,m,),的交点,即为,T,m,=,T,h,。也就是令式,(3-4-28),与式,(3-4-35),相等,于是有,(3-4-36),3.摆锤周期的