24.2圆的基本性质-第二课时垂径定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.2,圆的对称性,(2),-,垂径定理,想一想,圆是轴对称图形吗？,你是用什么方法解决这个问题的,?,圆是轴对称图形,.,其对称轴是任意一条过圆心的直线,.,如果是,它的对称轴是什么,?,用折叠的方法即可解决这个问题,.,你能找到多少条对称轴,?,O,A,B,观察猜想,.,O,C,D,E,操作,：,CD,是,0,的直径，过直径上任一点,E,作弦,ABCD,，将,0,沿,CD,对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？,猜想,：,AE=BE,AD=BD,AC=BC,连接,OA,OB,则,OA=OB.,证明：,已知：,CD,是,O,的直径，,AB,是,O,的弦，,且,CDAB,于,E,，,求证：,AE=BE,，,AC=BC,AD=BD,OAB,为等腰三角形，所以底边,AB,上的高,OE,所在的直线,CD,是,AB,的垂直平分线，因此点,A,与点,B,关于直线,CD,对称。,Q,同样，如果点,P,是,O,上任意一点，过点,P,作直径,CD,的垂线，与,O,交于点,Q,，则点,P,与点,Q,关于直线,CD,也对称，所以,O,关于直线,CD,对称，当把圆沿着直线,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，,AE,与,BE,重合，点,A,与点,B,重合，,AD,与,BD,AC,与,BC,重合。,因此,，,AE,=,EB,AD,=,BD,AC,=,BC,错,总结,：,垂径定理,：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,平分弦,平分弦所对的优弧,平分弦所对的劣弧,直径（或过圆心的直线）,垂直于弦,判断题：,(1),过圆心的直线平分弦,(2),垂直于弦的直线平分弦,(3)O,中，,OE,弦,AB,于,E,，则,AE=BE,o,A,B,C,D,E,(1),o,A,B,C,D,E,(2),O,A,B,E,(3),题设,结论,错,对,B,A,O,D,C,E,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理：,CD,是直径,CDAB,AE,BE,AC,BC,AD,BD,几何语言表达：,文字语言表达：,图形语言表达：,例,1,、已知：如图在,O,中，弦,AB,的长是,8cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3cm,，求,O,的半径,o,A,B,E,解：连结,OA,，作,OEAB,于,E,，则,OE=3cm,AE=BE,AB=8cm,AE=4cm,在,Rt,AOE,中有,OA=,=,=5cm,O,的半径为,5cm,这里圆心,O,到弦的距离叫做,弦心距,弦心距,1.,在,O,中，若,CD AB,于,M,，,AB,为直径，则下列结论不正确的是（）,练一练,2.,已知,O,的直径,AB=10,，弦,CD AB,，垂足为,M,，,OM=3,，则,CD=,.,3.,在,O,中，,CD AB,于,M,，,AB,为直径，若,CD=10,，,AM=1,，则,O,的半径是,.,O,C,D,A,B,M,C,A,、,AC=AD B,、,BC=BD,C,、,AM=OM D,、,CM=DM,8,13,注意：,解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法构造半径、半弦、弦心距组成直角三角形，结合勾股定理解题。,课堂小结,1,、本节课主要学习了：,(1),圆的轴对称性；,(2),垂径定理。,2,、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线,.,圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题,.,3,、垂径定理的证明，是通过,“,操作,观察,猜想,证明,”,实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后 证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想。,