《信号与系统基础及应用》第3章-连续时间系统分析课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2017-11-30,#,信号与系统基础及应用,主编 张晓青,参编 耿蕊 王君,机械工业出版社,信号与系统基础及应用主编 张晓青机械工业出版社,信号与系统基础及应用,第,1,章 信号与系统基础知识,第,2,章 连续时间信号分析,第,3,章 连续时间系统分析,第,4,章 离散时间信号分析,第,5,章 离散时间系统分析,第,6,章 离散傅里叶变换及应用,第,7,章 数字滤波器设计,信号与系统基础及应用第1章 信号与系统基础知识,第,3,章 连续时间,系统,分析,3.1,系统的时域分析,3.2,系统,的频域分析,3.3,拉普拉斯变换,3.4,系统,的复频域分析,第3章 连续时间系统分析3.1 系统的时域分析3.2 系统,3.1,系统,的时域分析,3.1.2,单位冲激响应的意义,3.1.1,微分方程,的建立与求解,3.1.3,卷积积分,3.1 系统的时域分析3.1.2 单位冲激响应的意义3.1.,3.1.1,微分方程的建立与求解,连续时间线性时不变（,LTI,）系统的数学模型是常系数微分方程。,系统,1.,微分方程的建立,3.1.1 微分方程的建立与求解连续时间线性时不变（LTI,【,例,3.1,】,如图所示互感耦合电路，,x,(,t,),为电压源激励信号，列写求电流,i,2,(,t,),的微分方程式。,解 ：,对于初、次级回路分别应用,KVL,定律，,可以得到一对微分方程式,(1),(2),【例3.1】 如图所示互感耦合电路，x(t)为电压源激励信号,将式（,4,）、（,5,）代入式（,3,）并整理得：,对式（,1,）两边求导得：,(,3),由式（,2,）得：,(,4,),对式（,4,）两边求导得,：,(,5),将式（4）、（5）代入式（3）并整理得：对式（1）两边求导得,（,1,）微分方程,的完全解由两部分组成：齐次解和特解。,特征方程为,2.,微分方程的求解,（,2,）,齐次解应满足,按特征根的形式不同，齐次解有不同的形式。,（1）微分方程的完全解由两部分组成：齐次解和特解。特征方程为,（,c,）,若,1,、,2,为共轭复根，即,1,2,=,j,，则,在齐次解中相应于,1,、,2,的部分为,（,b,）,特征根有重根，假设,0,是特征方程的,r,重根，则在齐次解中相应于,0,的部分将有,r,项,（,a,）,特征根为单根，微分方程的齐次解为,（c）若1、2为共轭复根，即1,2= j，则在齐,【,例,3.2,】,求,下列微分方程的齐次解。,解：,特征,方程为,特征,根为,（重根）,齐次解为,【例3.2 】求下列微分方程的齐次解。解： 特征方程为,激励信号,特解,常数,A,常数,B,不是特征根,是特征单根,是,k,重特征根,将激励信号代入微分方程的右端，观察激励信号的型式试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。,（,3,）求,特解：,激励信号特解常数A常数B不是特征根是特征单根是k重特征,解,:,（,1,）列写微分方程式为,节点,1,：,节点,2,：,【,例,3.3】,如下图所示电路，已知激励信号,x,(,t,)=cos2,tu,(,t,),两个电容上的初始电压均为零，求输出信号,v,2,(,t,),的表达式。,+,-,x,(,t,),v,1,(,t,),+,-,C,1,0.5,F,R,1,R,2,+,-,C,2,+,-,v,2,(,t,),1,2,解: （1）列写微分方程式为节点1：节点2：【例3,（,2,）求,齐次解，写出特征,方程为,特征根,（,3,）查表，得特解为,代入原方程得,齐次解,比较上述方程两边系数，并求解得,（,4,）完全解为,（2）求齐次解，写出特征方程为特征根（3）查表，得特解为代入,已知,电容,C,2,上的初始电压为零，因而有,v,2,(0) = 0,又因为电容,C,1,上的初始电压也为零，于是流过,R,2,、,C,2,中的初始电流也为零，,即,。,+,-,x,(,t,),v,1,(,t,),+,-,C,1,0.5,F,R,1,R,2,+,-,C,2,+,-,v,2,(,t,),由,v,2,(0) = 0,及,代入上面式子求得：,（,5,）由初始条件求解齐次解系数,已知电容C2上的初始电压为零，因而有v2(0) = 0,又因,3.,初始条件的确定（起始点的跳变,从,0,-,到,0,+,）,(1),起始状态与初始状态,起始状态：,在激励接入之前的瞬时系统的状态,初始状态：,在激励接入之后的瞬时系统的状态,3. 初始条件的确定（起始点的跳变从0-到0+ ）(1),(2),初始条件的确定,简单的情形可以利用,系统元件内部,储能的连续性来列写。,复杂情况可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。,(,冲激函数匹配法,),首先判断,v,C,(0,-,),和,i,L,(0,-,),值，然后由储能的连续性写出,v,C,(0,+,),和,i,L,(0,+,),，再根据,元件与网络拓扑的约束特性即,可求得,0,+,时刻其它电压、电流值。,(2)初始条件的确定简单的情形可以利用系统元件内部储能的连续,(3),冲激函数匹配法确定初始条件,配平原理：,t,=0,时刻微分方程左右两端的,(,t,),及其各,阶导数应该平衡（其他项也应该平衡，当讨论初始条件时，可以不考虑其他项）。,【,例,3.4,】,对于,，已知,y,(0,-,),求,y,(0,+,),。,表示,0,-,到,0,+,相对单位跳变函数,即,抵消,(3)冲激函数匹配法确定初始条件配平原理：t=0时刻微分方程,归纳成数学,描述如下：,由原方程可知方程右端含,(,t,),项，它由方程左端最高阶项而得。,设,则,代入原方程,得,因此,即,归纳成数学描述如下：由原方程可知方程右端含(t)项，它由,【,例,3.5】,描述系统的微分方程为,输入信号如图所示，已知,求,只考虑,0,时刻的跳变情况，,有,解,:,代入,x,(,t,),得,【例3.5】描述系统的微分方程为输入信号如图所示，已知求只考,观察方程右端的冲激函数项最高阶次是,(,t,),因此，得,代入微分方程左端，得,求得,即,观察方程右端的冲激函数项最高阶次是(t),因此，得代入微,求得各个,0,+,状态为,当,系统用微分方程表示时，系统从,0,-,到,0,+,状态有无跳变，取决于微分方程右端自由项是否包括,(,t,),及其各阶导数项。,一般,情况,下电路切换期间,电容两端电压和流过电感中的电流不会发生突变。即,但是,当有冲激电流或阶跃电压强迫作用于电容，冲激电压或者阶跃电流强迫作用于电感，,0,-,到,0,+,状态就会发生跳变。,求得各个0+状态为 当系统用微分方程表示时，系,解：（,1,）由系统的微分方程式，将,x,(,t,) =,u,(,t,),代入，得,【,例,3.6,】,如,图电路中，若激励为单位阶跃信号，,x,(,t,) =,u,(,t,),，系统起始无储能，试求,i,2,(,t,),。,由题意知,（,2,）求初始条件,解：（1）由系统的微分方程式，将x(t) = u(t)代入，,包含,包含,包含,包含包含包含,（,3,）求齐次解，写出特征方程,求得两特征根为：,由于在,t, 0,以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。,（,4,）求特解,y,f,(,t,),（,5,）求全响应,i,2,(,t,),（3）求齐次解，写出特征方程求得两特征根为：由于在 t ,所以,利用初始条件 求,系数,k,1,、,k,2,解得,：,所以 利用初始条件,4.,零输入响应与零状态响应,经典法求解系统的全响应可分为：,全响应,=,自然响应,+,强迫响应,系统的全响应也可分为：,全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,4.零输入响应与零状态响应经典法求解系统的全响应可分为：全响,零输入响应,y,zi,(,t,),：,当激励信号,x,(,t,) = 0,时，由起始状态,y,(,k,),(,0,-,),所产生的响应。,由于激励信号,x,(,t,) = 0,，所以系统的起始时刻不会产生跳变。所以,零输入响应为,自然响应,的形式：,其中系数,c,i,由起始,条件,y,(,k,),(0,-,),来确定。,零输入响应yzi(t)：当激励信号 x(t) = 0时，由起,零状态响应,y,zs,(,t,):,当起始状态,y,(,k,),(,0,-,)=0,时，由激励信号,x,(,t,),所产生的响应。,零状态响应的形式为：,其中系数,d,i,由跳变量 来确定。,零状态响应yzs(t): 当起始状态y(k)(0-)=0时，,：确定全响应的系数,：确定零输入响应的系数,：确定零状态响应的系数,自然响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,：确定全响应的系数：确定零输入响应的系数：确定零状态响应的系,解：,：初始条件，确定全响应的系数，,：起始条件，确定零输入响应的系数，,：跳变量，确定零状态响应的系数,【,例,3.7】,已知,系统的微分方程为,且 ，求自然响应、强迫响应、零输入响应、零,状态响应和全响应。,解：初始条件，确定全响应的系数，：起始条件，确定零输入响应,（,1,）求全响应,y,(,t,),特征根为 ，所以 ，,而,这样，全响应为,由初始条件 可求出系数,k=,，,所以,（,2,）求零输入响应,y,z,i,(,t,),由起始条件 可求出系数,c=,，,所以,（1）求全响应y(t) 特征根为,（,3,）求零状态响应,y,z,s,(,t,),由跳变量 可求出系数,d,=,-,1,，,所以,或：,零输入,零状态,自然,强迫,（3）求零状态响应yzs(t)由跳变量,3.1.2,单位冲激响应的意义,以单位冲激信号,(,t,),作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位冲激响应”，以,h,(,t,),表示。,以单位阶跃信号,u,(,t,),作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”，以,g,(,t,),表示。,系 统,1.,定义,系 统,3.1.2 单位冲激响应的意义以单位冲激信号 (t)作为,2.,h,(,t,),的求解,将 及 代入上式，得,2. h(t)的求解将 及,一般情况下有,n,m,，冲激响应,h,(,t,),应与齐次解的形式相同，如果特征根包括,n,个非重根，则,如果,n,=,m,，冲激响应,h,(,t,),将包含一个,(,t,),项，即,如：,即：,一般情况下有nm，冲激响应h(t)应与齐次解的形式相同，如,如果,nm,，,冲激响应,h,(,t,),中将包含,(,t,),、,(,t,),、,(,t,),、,例如,n,=,m,-1,，则有,如果n0,的傅里叶变换？,将,x,(,t,),乘以衰减因子,e,-,t,若,不存在,!,1.,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,3.3.1 拉普拉斯变换的导出及收敛域例子：x (t)=ea,推广到一般情况,令,s,=,+j,定义：,对,X,(,+,j,),求,傅里叶反变换可推出,拉普拉斯正变换,拉普拉斯反变换,推广到一般情况令s= +j定义：对 X(+j)求傅里,拉普拉斯变换符号表示及物理含义,符号表示：,物理意义：,信号,x,(,t,),可分解成复指数,e,st,的线性组合,X,(,s,),为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。,s,是复数，称为复频率，,X,(,s,),称复频谱。,拉普拉斯变换符号表示及物理含义符号表示：物理意义：信号x(t,关于积分下限的说明：,2.,单边拉普拉斯变换及其存在的条件,积分下限定义为零的左极限，目的在于分析,和计算时可以直接,利用给定,的,0,-,起始状态。,单边拉普拉斯变换,关于积分下限的说明：2.单边拉普拉斯变换及其存在的条件积分下,单边拉普拉斯变换存在的条件,对任意信号,x,(,t,),，若满足上式，则,x,(,t,),应满足,充要条件为：,C,为有界常数,单边拉普拉斯变换存在的条件对任意信号x(t) ，若满足上式，,0,称,收敛条件,收,敛,区,j,0,0,称,绝对收敛坐标,s,平面,右半平面,左半平面,3.,拉普拉斯变换的收敛域,使,X,(,s,),存在的,s,的区域,0称收敛条件收j 00称绝对收敛坐标s平,右边信号,左边信号,双边信号,右边信号左边信号双边信号,【,例,3.12】,计算,下列信号的拉普拉斯变换与,傅里叶变换。,解,：,不存在,时域,信号,傅里叶变换,拉普拉斯变换,【例3.12】计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。解：不,分析与结论,：,(1),当,收敛域包含虚轴时，,拉普拉斯变换和傅里叶,变换均存在。,(,2),当,收敛域不包含虚轴时，,拉普拉斯变换存在而,傅里叶变换不存在。,(,3),当,收敛域的收敛边界位于虚轴时，,拉普拉斯变换,和傅里叶变换均存在。,k,为极点频率，,X,k,为对应的系数，,k,为分母多项式的阶次。,分析与结论：(1)当收敛域包含虚轴时，拉普拉斯变换和傅里叶(,【,例,3.13,】,由,X,(,s,),求,X,(j,),解：,(,1,),收敛域,-4,包含,j,轴,(2),收敛,域的收敛边界位于,j,轴,【例3.13】由X(s)求X(j )解：(1)收敛域,4.,常用,信号的单边拉普拉斯变换,4.常用信号的单边拉普拉斯变换,信号与系统基础及应用第3章-连续时间系统分析课件,3.3.2,拉普拉斯变换,的性质,1.,线性特性,则,若,2.,展缩特性,若,，则,3.3.2拉普拉斯变换的性质1.线性特性则若2.展缩特性若，,3.,时移特性,若,，则,4.,卷积特性,若,则,3.时移特性若，则4.卷积特性若则,5.,乘积特性,若,则,5.乘积特性若则,6.,微分特性,若,，则,若,x,(,t,),=,0, t,0,则有,x,r,(0,-,),=,0,，,r=,0,1,2,.,.,6.微分特性若，则若x(t)=0, t0, 则有x r(,7.,积分特性,若,x,-1,(0,-,)=0,，,则有,若,，则,7.积分特性若x -1(0-)=0， 则有若，则,8.,初值定理和终值定理,若,，则,8.初值定理和终值定理若，则,3.3.3,拉普拉斯,反,变换,计算拉普拉斯,反变换方法：,1.,利用拉普拉斯变换性质求解（查表）,2.,采用部分分式展开法,3.,其他方法（略）,3.3.3拉普拉斯反变换计算拉普拉斯反变换方法：1. 利用拉,2.,部分分式,法原理,(1),X,(,s,),为有理真分式,(,m n,),，极点为,一阶极点,2.部分分式法原理(1) X(s)为有理真分式( m n,(2),X,(,s,),为有理真分式,(,m n,),，,极点含有,r,阶重极点,(2) X(s)为有理真分式( m n)，极点含有r阶,(3),X,(,s,),为有理真分式,(,m n,),，极点含有共轭复根。,把两个复根因子的乘积作为一个整体因式来考虑，可简化运算，反变换中将出现,sin,或者,cos,项。,(3) X(s)为有理真分式( m n)，极点含有共轭,(4),X,(,s,),为,有理假分式,(,m,n,),为真分式，根据极点情况按,(1),或,(2),展开。,(4) X(s)为有理假分式( m n )为真分式，根,【,例,3.14,】,采用,部分分式展开法求下列的反变换,【例3.14 】采用部分分式展开法求下列的反变换,解：,解：,解：,X,(,s,),为有理假分式,将,X,(,s,),化为有理真分式,解：X(s)为有理假分式, 将X(s)化为有理真分式,解：,令,s,2,=q,解：令s2=q,解：,k,1,k,2,k,3,用待定,系数法求,的反变换,的反变换,再用时移特性求,先用部分分式求,解：k1,k2, k3用待定的反变换的反变换再用时移特性求先,3.4,系统,的复频域分析,3.4.1,微分方程的,复,频域求解,3.4.2,系统函数,3.4.3,零极点图及系统特性分析,3.4 系统的复频域分析3.4.1 微分方程的复频域求解3,1.,基于微分方程描述的,系统,s,域,分析,时域微分方程,时域响应,s,域,响应,拉氏变换,拉氏反变换,解微分方程,解代数方程,s,域,代数方程,3.4.1,微分方程的,复,频域求解,y,(,t,),Y,(,s,),1.基于微分方程描述的系统s域分析时域微分方程时域响应s域响,原理：利用拉氏变换微分性质求解线性常系数微分方程。,(1),经拉氏变换将时域微分方程变换,为,s,域,代数方程,(2),求解,s,域,代数方程，求出,Y,zi,(,s,),Y,zs,(,s,),(3),拉氏反变换，求出响应的时域表示式,步骤,：,已知,则有,原理：利用拉氏变换微分性质求解线性常系数微分方程。(1) 经,2.,二阶系统响应,的,s,域,求解,已知,x,(,t,),，,y,(0,-,),，,y,(,0,-,),，求,y,(,t,),。,a,2,y,(,t,),a,1,y,(,t,),a,0,y,(,t,),2.二阶系统响应的s域求解已知 x (t)，y(0-)，y,Y,zi,(,s,),Y,zs,(,s,),Yzi(s)Yzs(s),激励,x,(,t,),=e,-t,u,(,t,),，,初始状态,y,(0,-,),=,3,，,y,(,0,-,)=,2,，,求全响应,y,(,t,),。,【,例,3.15】,系统的微分方程,为,解：,对微分方程取拉氏变换可得,激励x(t)=e-tu(t)，初始状态y(0-)=3， y,求本例的零输入响应和零状态响应,求本例的零输入响应和零状态响应,信号与系统基础及应用第3章-连续时间系统分析课件,3.,电路元件,R,、,L,、,C,的,s,域模型,时域,复频域,s,域,模型,3.电路元件R、L、C的s域模型时域复频域s域模型,【,例,3.16,】,图示,电路初始状态为,v,c,(0,-,)=-,E,求电容两端电压,v,c,(,t,).,解：建立电路的,s,域,模型如图。,由,s,域模型写回路方程,求出回路,电流如下,电容电压为,【例3.16】图示电路初始状态为vc(0-)=-E, 求电容,3.4.2,系统函数,(1),定义：,系统在,零状态条件,下，输出的拉氏变换式,与输入的拉式变换式之比，记为,H,(,s,),。,1.,系统,函数,H,(,s,),(2),H,(,s,),与,h,(,t,),的关系：,h,(,t,),(,t,),3.4.2 系统函数(1)定义：系统在零状态条件下，输出的拉,(3),求零状态响应：,(4),求,H,(,s,),的方法：,由系统的冲激响应求解：,H,(,s,)=,L,h,(,t,),由系统的微分方程写出,H,(,s,),h,(,t,),H,(,s,),x,(,t,),X,(,s,),由定义,式,求取,(3)求零状态响应：(4)求H(s)的方法： 由系统的冲激,【,例,3.17】,已知系统微分方程为,，,激励,系统的全响应,为,。,求,零状态响应,y,zs,(,t,),、,零输入响应,y,zi,(,t,),。,解：系统函数为：,故有,【例3.17】已知系统微分方程为,2.,系统的,s,域框图,基本单元,时域,s,域,积分器,加法器,数乘器,2.系统的s域框图 基本单元时域s域积分器加法器数乘器,(1),系统模拟框图（,直接形式,）,设系统,函数为：,令：,即：,二阶节,(1)系统模拟框图（直接形式）设系统函数为：令：即：二阶节,(2),系统模拟框图,(,级联形式和并联形式,),级联形式,并联形式,一阶节,(2)系统模拟框图 (级联形式和并联形式)级联形式并联形式一,(3),由系统模拟图求系统函数,设中间,变量,为,W,(,s,),(3)由系统模拟图求系统函数 设中间变量为W(s,【,例,3.18】,已知,，,试画出直接形式,模拟框图,。,解：系统函数可变为,【例3.18】已知,【,例,3.19】,已知,，试画出级联形式,模拟框图,。,解：系统函数可变为,【例3.19】已知,【,例,3.20】,已知,，,试画出并联形式,模拟框图,。,解：系统,函数可变为,【例3.20】已知,零极点分布图,1.,系统函数的零极点分布,3.4.3,零极点图及系统特性分析,零极点分布图1. 系统函数的零极点分布3.4.3 零极点图及,信号与系统基础及应用第3章-连续时间系统分析课件,s,j,w,0,u,(,t,),e,-,t,u,(,t,),e,t,u,(,t,),1,-,1,2.,H,(,s,),与,h,(,t,),的,关系,1,1,1,(1,),位于,s,轴的单极点,sjw0u(t)e-t u(t)et u(t)1-12.H(,(2),共轭极点,s,j,w,0,-,1,1,sin(,t,) e,-,t,u,(,t,),sin(,t,) e,t,u,(,t,),sin(,t,),u,(,t,),j,-,j,(2) 共轭极点sjw0-11sin(t) e-t u(t,频率响应特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。,系统稳定时，,令,H,(,s,),中,s,=j,w,，,则得,系统频响特性,幅频特性,相频特性,3.,H,(,s,),与,H,(j,),的,关系,频率响应特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变,系统频响,特性的意义,零,极增益表示的系统,函数为,当系统稳定时，,令,s,=j,w,，,则得,系统频响特性的意义零极增益表示的系统函数为当系统稳定时，令s,【,例,3.21】,已知,，求系统的频响特性。,解：,【例3.21】已知，求系统的频响特性。解：,4.,H,(,s,),与系统的稳定性,因果系统,在,s,域有界输入有界输出,(BIBO),的充要条件是系统函数,H,(,s,),的全部,极点,位于,s,平面,的,左半平面,。,连续时间,LTI,系统,BIBO,稳定的充分必要条件是,C,为有界常数,4. H(s)与系统的稳定性因果系统在s域有界输入有界输出(,【,例,3.22】,判断下述因果系统,是否稳定。,（1）极点为,s,=,-,1,和,s,=,-,2，,都在,s,左半平面,。稳定。,显然,输出,有界,，所以系统稳定。,若激励,为,因果,有界,输入,u,(,t,)，,则其输出为,解:,【例3.22】判断下述因果系统是否稳定。（1）极点为s= -,（,2,）,极点为,j,0,，,是虚轴上的一对共轭极点,。不稳定。,显然，输出,不是有界信号，所以系统不稳定。,若激励,为因果有界,输入,sin(,0,t,),u,(,t,)，,则其输出为,（2）极点为j0，是虚轴上的一对共轭极点。不稳定。显然，,第,3,章完,本课件的参考文献参见教材末尾所列的文献目录。,本课件部分图片来源于网络。,第3章完本课件的参考文献参见教材末尾所列的文献目录。本课件部,