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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节 直线、平面平行的判定及其性质,1.平行直线,(1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.,(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.,(3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.,(4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.,(5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行.,2.直线与平面平行,(1)定义:直线a和平面没有公共点,叫做直线与平面平行.,(2)线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.,根底梳理,(3)面面平行的性质:如果两平面互相平行,那么一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.,3.平面与平面平行,(1)定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面.,(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.,(3)判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.,(4)线面垂直的性质:如果两平面垂直于同一直线,那么这两个平面平行.,(5)平行公理:如果两平面平行于同一平面,那么这两个平面平行.,典例分析,题型一 线线平行,【例1】四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.,分析 假设证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可.,证明,如图,连接BD.,EH是ABD的中位线,EHBD,EH=BD.,又FG是CBD的中位线,FGBD,FG=BD.,FGEH,且FG=EH,四边形EFGH是平行四边形.,学后反思 假设证明四边形EFGH是平行四边形,可有两条途径：一是证明两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等.,举一反三,1.E、分别是正方体ABCD-的棱AD、的中点.求证:BEC=.,证明,如图,连接 .,E分别为 ,AD的中点,四边形 为平行四边形，,四边形 是平行四边形，,EB.同理 EC.,又 与CEB方向相同，,=CEB.,题型二 线面平行,【例2】如图,正方体ABCD-中,侧面对角线 上分别有两点E,F,且 .求证:EF平面ABCD.,分析,要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.,证明,方法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接MN(如图)，则EM ,FN ,EMFN.,AE=BF,EM=FN,四边形EMNF是平行四边形,EFMN.,又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.,方法二:连接 ,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).,PFB,又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.,方法三:过点E作EH 于点H,连接FH(如图)，则EHAB,EHFH=H,平面EFH平面ABCD.,EF平面EFH,EF平面ABCD.,学后反思,判断或证明线面平行的常用方法有:,(1)利用线面平行的定义(无公共点);,(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);,(3)利用面面平行的性质定理(,aa);,(4)利用面面平行的性质(,a,a,aa).,举一反三,2.2021无锡调研如下图，在正三棱柱 中，点D是BC的中点.求证：.,解析,：如图，连接 ，,设 与 交于E，连接DE.,点D是BC的中点，,点E是 的中点，,DE .,平面 ，,DE 平面 ,平面 .,题型三 面面平行,【例3】如图,正方体ABCD-的棱长为1.求证:平面 平面,分析,要证明平面 平面 ,根据面,面平行的判定定理或推论，只要证明AC平,面 ，平面 ,且AC =A即可.,证明,方法一:,四边形 为平行四边形,方法二:易知 和确定一个 平面 ,于是,学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有:,(1)面面平行的定义;,(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;,(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;,(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;,(5)利用“线线平行、“线面平行、“面面平行的相互转化.,3.如图，设AB、CD为夹在两个平行平面、之间的线段且直线AB、CD为异面直线，M、P分别为AB、CD的中点.,求证：MP.,解析：过A作AECD交于E，连接ED.,ACED.,取AE的中点N，连接NP、MN，,那么NPED,MNBE.,MNNP=N,且BE、ED，,平面MNP.又MP平面MNP,MP.,题型四 平行问题的探究,【例4】长方体 ，点PBB不与B、B重合，PABA=M,PCBC=N,求证：MN平面AC.,分析,要证明MN平面AC,只要证明MN平行于平面AC内的一条直线即可，而这条直线应与MN共面，由于AC与MN共面，只要证明ACMN即可.,证明,如图，连接 ,AC,为长方体，,AC .,AC 平面 B,平面 B,AC平面 B.,又平面PAC过AC且与平面B 交于MN，,MNAC.,MN平面AC，AC平面AC，,MN平面AC.,学后反思 定理、定义是做题的依据，具备了条件，便可得到结论；条件缺乏，要通过题设和图形的结构特征、性质去寻求，增添辅助线是解决问题的关键.,举一反三,4.2021泰安模拟,如下图，正三棱柱 的每条棱长均为a，M为棱 上的动点.,当M在何处时，并给予证明.,解析：,当M是 中点时，.,证明:M为 的中点，延长AM、，,设AM与 延长线交于点N，,那么 .,连接 并延长与CB延长线交于点G，如图,那么BG=CB，,在CGN中，为中位线，GN.,又GN平面 ,题型五 平行关系的综合应用,【例5】(12分)求证:假设一条直线分别和两个相交平面平行,那么这条直线必与它们的交线平行.,分析 此题可先过直线作平面分别与两平面相交,由线面平行的性质定理及公理4,可证得两交线平行,从而进一步证得一条交线与另一平面平行,进而可证得结论.,证明,=a.过 作平面交于b,过 作平面交于c,.3,=b,b.(线面平行的性质定理),同理 c.5,bc.6,又c,b,b.(线面平行的判定定理).8,又b,=a,ba.(线面平行的性质定理),10,a.(公理4).12,举一反三,学后反思,把文字语言转化成符号语言和图形语言，过 作平面和与、得到两条交线，利用线面平行的性质定理及公理4可证得交线平行，从而进一步证明一条交线与另一个平面平行，进而可证得结论.,5.平面,线段BC,DBC,A，直线AB、AD、AC分别交于E、F、G，且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长度.,解析：,利用点A与线段BC之间不同的位置关系，以及点A、线段BC与平面之间不同的位置关系，进行逻辑划分.分情况讨论：AB、AD、AC延长线分别交于E、F、G；AB、AD、AC的反向延长线分别交于E、F、G；A与直线BC位于的两侧.,1如图1，BC，BC平面ABC，平面ABC=EG,BCEG,即,又,2如图2，同理BCEG,AF=DF-DA=c-b,3如图3，同理BCEG,AF=AD-DF=b-c,易错警示,【例】,在正方体 中，E、F分别是棱BC、的中点，求证：EF平面,错解,如图，连接 并延长至G点，使GE=，,连接在 中，F是 的中点，E是 的中点，所以EF ，而EF平面 ,平面 故EF平面,错解 分析上述证明中，“这一结论没有根据，只是主观认为 在平面 内，说明在利用线面平行的判定定理时，对两直线平行比较关注，而对另外两个条件一直线在平面内，另一直线在平面外容易无视.大多数情况下，这两个条件在作图添加辅助线时就可以清楚地表达出来，一般不需单独证明，而此题作图过程看不出“的理论依据.而且题设条件“E是BC的中点没有用到，而没有这一条件，结论会成立吗？比方把E点移至B点，显然结论不成立.,正解,如图，连接 ，并延长交 的延长线于G，连接,因为 ，E是BC的中点，,所以E是 的中点.,在 中，F是 的中点，E是 的中点，,所以EF .,而EF平面 ，平面 ，,所以EF平面 .,10.平面,P且P,过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D，且PA=6，AC=9，PD=8，那么BD的长为 .,解析:,如图1，ACBD=P,经过直线AC与BD可确定平面PCD.,平面PCD=AB，平面PCD=CD，,ABCD,即,如图2，同理可证ABCD,即,综上所述，BD=或24.,答案:,或24,11.：ABC中，ACB=90，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将ADE折起，使A到A的位置，M是 的中点.求证：ME平面,解析：如下图，取 的中点G，,连接MG、GD，,M、G分别是 、的中点，,四边形DEMG是平行四边形，,MEDG.,又ME平面 ,DG平面 ,ME平面,12.如下图,两条异面直线AB与CD所成的角等于,且AB=m,CD=n,平面MNPQ与AB、CD都平行,且M、N、P、Q依次在线段AC、BC、BD、AD上.,(1)求证:四边形MNPQ是平行四边形;,(2)当M点在何位置时,MNPQ的面积最大?最大面积是多少?,解析：(1)证明:由于AB平面MNPQ,平面ABC平面MNPQ=MN,那么ABMN.,同理,ABPQ.由公理4得,MNPQ.同理,MQNP.,故四边形MNPQ是平行四边形.,(2)由于AB与CD所成的角等于,ABMN,CDMQ,那么sin NMQ=sin.设CMMA=1,那么CMCA=(1+),AMAC=1(1+),那么,于是,其中当=1时,到达最大值 .故当点M位于AC中点时,的面积最大,最大面积为 .,
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