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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,根底梳理,1.平面的根本性质,名称,图形,文字语言,符号语言,公理1,如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,公理2,经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面,A、B、C不共线A、B、C平面且是唯一的,公理3,如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线,若P,P,则=a,且Pa,公理4,平行于同一条直线的两条直线互相平行,若ab,bc,则ac,公理,2,的推论,推论1,经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,若点A直线a,则A和a确定一个平面,推论2,两条相交直线确定一个平面,ab=P 有且只有一个平面,使a,b,推论3,两条平行直线确定一个平面,ab 有且只有一个平面,使a,b,2.空间直线与直线的位置关系,(1)位置关系,相交,共面,共面与否 平行,异面,一个公共点:相交,公共点个数 平行,无公共点,异面,(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.,(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,4异面直线的夹角,定义：两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线aa,bb，我们把两相交直线a、b所成的角叫做异面直线a、b所成的角或夹角.,范围：0,.特别地，如果两异面直线所成的角是 ，我们就称这两条直线垂直，记作ab.,3.空间中的直线与平面的位置关系,直线在平面内有无数个公共点,直线与平面相交有且只有一个公共点,直线在平面外,直线与平面平行无公共点,4.平面与平面的位置关系,平行无公共点,相交有且只有一条公共直线,典例分析,题型一 点、线、面的位置关系,【例1】以下命题:,空间不同三点确定一个平面;,有三个公共点的两个平面必重合;,空间两两相交的三条直线确定一个平面;,三角形是平面图形;,平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;,垂直于同一直线的两直线平行;,一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;,两组对边相等的四边形是平行四边形.,其中正确的命题是_.,分析,根据公理及推论作判断.,解 由公理2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,假设为三个交点,那么这三线共面,假设只有一个交点,那么可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-ABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.,学后反思,平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.,举一反三,1.给出以下命题：,如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点;,经过空间任意三点的平面有且只有一个;,如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面;,不平行的两直线必相交.,其中正确命题的序号为_.,解析,由公理3知，错;由公理2知，错;对;不平行的两直线可能异面，故错.,答案,题型二 证明三点共线,【例2】ABC的三个顶点都不在平面内,它的三边AB、BC、AC延长,后分别交平面于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.,分析,要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在ABC所在的平面和平面的交线上即可.,证明,由已知条件易知,平面与平面ABC相交.,设交线为,即=面ABC.,PAB,P面ABC.,又PAB,P,即P为平面与面ABC的公共点,P.同理可证,点R和Q也在交线 上.,故P、Q、R三点共线于.,学后反思 证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，那么多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.,举一反三,2.如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,如图所示.,求证:点B、D、P在同一条直线上.,证明,由于直线EF和GH交于点P,PEF,又EF平面ABD,P平面ABD.,同理,P平面CBD.,P在平面ABD与平面CBD的交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.,题型三 证明点线共面,【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.,分析,由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明.,要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.,证明,(1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面,由O平面,A平面,O直线a,A直线a,知直线a平面.同理b平面,c平面,故直线a,b,c,d共面于.,(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线ab=M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c.同理可证d,故直线a,b,c,d共面于.,由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.,学后反思 证多线共面的方法：,1以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内.,2先由局部直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.,举一反三,3.在正方体ABCD-中,E是AB的中点,F是 的中点.求证:E、F、C四点共面.,证明,如图，连接 ,EF,.,E是AB的中点,F是 的中点,EF .,EF .,故E、F、C四点共面.,题型四 证明三线共点,【例5】,(12分)已知四面体A-BCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H,分别是BC、CD上的点,且 .求证:直线EG、FH、AC相交于,同一点P.,分析,先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.,证明E、F分别是AB、AD的中点,EFBD且EF=BD.2,又 ,GHBD且GH=BD,EFGH且EFGH,4,四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P,.6,EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.8,又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10,故直线EG、FH、AC相交于同一点P12,学后反思,证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.,举一反三,4.2021曲靖模拟：如下图的空间四边形ABCD，E、F分别是,AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG=CB，CH=CD.,求证：1E、F、G、H四点共面；,2三直线FH、EG、AC共点.,解析：1如图，连接EF、GH.,故EF与GH共面，即E、F、G、H四点共面.,2EFGH，但EFGH,故EFHG是梯形.,如图，设FH与EG交于O点，,那么OFH平面DAC,OEG平面BAC,O(平面DAC平面BAC)=AC,即直线AC过O点，,故三直线FH、EG、AC共点.,易错警示,【例】过直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线.,求证:这四条直线在同一平面内.,错解,P、A、B三点不共线,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.,A、B、C、D均在直线a上,PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.,错解分析,错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,通过A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.,正解,过直线a及点P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在内.,直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内,由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四直线共面.,10.G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有.填上所有正确答案的序号,解析:对于1，连接GM，显然四边形GMNH是平行四边形；对于3，连接GM，易知GMHN，故1、3中GH与MN共面；2、4中GH与MN是异面的.,答案:24,11.设ABCD的各边和对角线所在的直线与平面依次相交于 ,求证:六点在同一条直线上.,解析：如图，设ABCD所在的平面为,A,B,AB.,又 AB,.,又 ,在平面与平面的交线上,设交线为l,那么 l.,同理可证,都在直线l上,六点在同一条直线上.,证明,如图，ab,a、b可以确定一个平面.,又 a=A,b=B,Aa,Bb,A,B,AB;,又A,B,.,另一方面,bc,b、c可以确定一个平面.,同理可证,.,平面、均经过直线b、,且b和 是两条相交直线,它们确定的平面是唯一的,平面与是同一个平面,a、b、c、共面.,12.已知直线abc,直线 a=A,b=B,c=C.,求证:a、b、c、共面.,
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