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单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/8/8,#,第,13,章 三角形中的边角关系、,命题与证明,13.1,三角形中的边角关系,3.,三角形中几条重要线段,2024/11/18,1,第13章 三角形中的边角关系、,1.,了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高,;,（重点）,2.,学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力,;,（难点）,学习目标,2024/11/18,2,1.了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三,复习回顾,导入新课,定义,图示,垂线,线段中点,角平分线,O,B,A,A,B,当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,把一条线段分成两条相等的线段的点,一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线,复习回顾导入新课 定义,这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？,情境引入,这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的,三角形的角平分线,问题,1,如图，若,OC,是,AOB,的平分线，你能得到什么结论？,A,C,B,O,AOC,=,BOC,问题,2,你能用,同样的方法,画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗,?,A,B,C,D,想一想：,三角形的角平分线与角的角平分线相同吗,?,相同点是：,BAD,=,CAD,;,不同点是：前者是线段，后者是射线,.,讲授新课,三角形的角平分线问题1 如图，若OC是AOB的平分线，,B,A,C,用量角器画最简便，用圆规也能,.,在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合,.,折痕,AD,即为三角形的,A,的平分线,.,A,B,C,A,D,BAC用量角器画最简便，用圆规也能.在一张纸上画出一,问题,4,：,请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？,三角形的三条角平分线,交于一点,A,B,C,D,E,F,问题,3,：,一个三角形有几条角平分线？,3,称之为,三角形的内心,2024/11/18,7,问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？三,思考：,观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？,三角形的三条角平分线交于一点,称之为三角形的内心,（后面学到）,2024/11/18,8,思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发,例,1,：,如图，,DC,平分,ACB,，,DE,BC,AED,=80,，求,ECD,的度数,.,解：,DC,平分,ACB,又,DE,BC,典例精析,AED,=,ACB,=80.,ECD,=40.,ECD,=,BCD=,ACB,.,例1：如图，DC平分ACB，DEBC,AED=80，,在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫,作,这个三角形的中线(,median,).,AE,是,BC,边上的中线.,2024/11/18,10,三角形的“中线”,B,A,C,A,BE=EC,E,三角形的中线,在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个,(1),在纸上,画出一个锐角三角形，确定它的中线,.,你有什么方法？它有多少条中线？,它们有怎样的,位置关系,?,议一议,三条中线，,交于一点,2024/11/18,11,(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.议一议三条中线,(2),钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？,折一折，画一画，并与同伴交流,.,三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的,重心,.,要点归纳,2024/11/18,12,(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？三角形,典例精析,例,2,在,ABC,中，,AC,5cm,，,AD,是,ABC,的中线，若,ABD,的周长比,ADC,的周长大,2cm,，则,BA,_.,提示：,将,ABD,与,ADC,的周长之差转化为边长的差,.,7,c,m,2024/11/18,13,典例精析例2 在ABC中，AC5cm，AD是ABC的,三角形的高,三角形的高的定义,A,从三角形的一个顶点，,B,C,向它的对边,所在直线作垂线，,顶点,和垂足,D,之间的线段,叫作三角形的高线，,简称三角形的高,.,如右图,线段,AD,是,BC,边上的高,.,和垂足的字母,.,注意,!,标明垂直的记号,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,2024/11/18,14,三角形的高三角形的高的定义A从三角形的一个顶点，BC向它的,思考：你还能画出一条高来吗？,一个三角形有三个顶点，应该有三条高,.,2024/11/18,15,思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条,(1)你能画出这,个三角形的三条高吗,?,(2),这三条高之间有怎样的位置关系？,O,(3),锐角三角形的三条高是在三角,形的内部还是外部,?,锐角三角形的三条高交于同一点；,锐角三角形的三条高都在三角形的内部,.,锐角三角形的三条高,如图所示；,2024/11/18,16,(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有,直角边,BC,边上的高是,;,直角边,AB,边上的高是,;,(2),AC,边上的高是,;,直角三角形的三条高,A,B,C,(1)画出,直角三角形的三条高,AB,BC,它们有怎样的位置关系？,D,直角三角形的三条高交于直角顶点,.,BD,2024/11/18,17,直角边BC边上的高是 ;直角边AB边上,钝角三角形的三条高,(1),你能画出钝角三角形的三条,高吗？,A,B,C,D,E,F,(2),AC,边上的高呢？,AB,边上呢？,BC,边上呢？,BF,CE,AD,2024/11/18,18,钝角三角形的三条高(1)你能画出钝角三角形的三条ABCD,A,B,C,D,F,(3),钝角三角形的三条高,交于一点吗？,(4),它们所在的直线交于,一点吗？,O,E,钝角三角形的三条高,不相交于一点；,钝角三角形的三条高所在直线交于一点,.,2024/11/18,19,ABCDF(3)钝角三角形的三条高(4)它们所在的直线交于O,视频：画,钝角三角形的高,2024/11/18,20,视频：画钝角三角形的高2023/9/2420,例,3,作,ABC,的边,AB,上的高，下列作法中，正确的是,(,),总结：,三角形任意一边上的高必须满足：,(1),过该边所对的顶点；,(2),垂足必须在该边或在该边的延长线上,D,2024/11/18,21,例3 作ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(,例,4,如图所示，在,ABC,中，,AB,AC,5,，,BC,6,，,AD,BC,于点,D,，且,AD,4,，,若点,P,在边,AC,上移动，则,BP,的最小值为,_,总结：,可利用面积相等作桥梁,(,但不求面积,),求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”,2024/11/18,22,例4 如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，A,例,5,如图，已知,AD,是,ABC,的角平分线，,CE,是,ABC,的高，,BAC,60,，,BCE,40,，,求,ADB,的度数,解：,AD,是,ABC,的角平分线，,BAC,60,，,DAC,BAD,30.,CE,是,ABC,的高，,BCE,40,，,B,50,，,ADB,180,B,BAD,180,30,50,100.,2024/11/18,23,例5 如图，已知AD是ABC的角平分线，CE是ABC的,例,6,如图，,ABC,中，,AD,是,BC,边上的中线，若,ABC,的周长为,35cm,，,BC,=11cm,，且,ABD,与,ACD,的周长差为,3cm,，求,AB,与,AC,的长,.,A,C,D,B,解,:,AD,是,ABC,的中线，,CD,=,BD,.,ABC,的周长为,35cm,，,BC,=11cm,，,AC,+,AB,=35-11=24,（,cm,）,.,又,ABD,与,ACD,的周长差为,3cm,AB,-,AC,=3cm,，,AB,=13.5cm,AC,=10.5cm.,有关三角形的高、角平分线、中线的计算,2024/11/18,24,例6 如图，ABC中，AD是BC边上的中线，若ABC的周,例,7,：,如图，在,ABC,中，,E,是,BC,上的一点，,EC,2,BE,，点,D,是,AC,的中点，,S,ABC,12,，求,S,ADF,S,BEF,的值,.,S,ABD,S,ABE,(,S,ADF,S,ABF,),(,S,ABF,S,BEF,),S,ADF,S,BEF,，,即,S,ADF,S,BEF,S,ABD,S,ABE,6,4,2.,解：,点,D,是,AC,的中点，,AD,AC,.,S,ABC,12,，,S,ABD,S,ABC,12,6.,EC,2,BE,，,S,ABC,12,，,S,ABE,S,ABC,4.,例7：如图，在ABC中，E是BC上的一点，EC2BE，点,三角形的,重要线段,概念,图形,表示法,三角形,的高线,从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足,之间的,线段,AD,是,ABC,的高线,.,ADBC,ADB=ADC=90.,三角形,的中线,三角形中,连结一个顶点和它对边中的,线段,AD,是,ABC,的,BC,上的中线,.,BD=CD=,BC.,三角形的,角平分线,三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的,线段,.AD,是,ABC,的,BAC,的平分线,1=2=,BAC,知识归纳,三角形的概念图形表示法三角形从三角形的一个顶点向它的对边所在,定义,观察下列语句：,1.,无限不循环小数称为,无理数；,2.,两条边相等的三角形叫做,等腰三角形；,3.,三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,.,像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做,定义,请你举出你所熟知的一些定义例子,.,定义观察下列语句：像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定,例如,:,1.“,具有中华人民共和国国籍的人,叫做,中华人民共和国公民,”是“,中华人民共和国公民,”的定义,;,2.“,两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的,定义,;,3.“,在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是,1,这样的方程叫做,一元一次方程,”是“一元一次方程”的,定义,.,2024/11/18,28,例如:2023/9/2428,当堂练习,1,下列说法正确的是 （）,A,三角形三条高都在三角形内,B,三角形三条中线相交于一点,C,三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可,能在三角形外,D,三角形的角平分线是射线,B,2024/11/18,29,当堂练习1下列说法正确的是,2,在,ABC,中，,AD,为中线，,BE,为角平分线，则在以下等式中：,BAD,=,CAD,；,ABE,=,CBE,；,BD,=,DC,；,AE,=,EC,其中正确的是 （）,A,B,C,D,D,2024/11/18,30,D2023/9/2430,3.,如图，,ABC,中,C,=90,，,CD,AB,，图中线段中可以作为,ABC,的高的有 （）,A,2,条,B,3,条,C,4,条,D,5,条,4.,下列各组图形中,，,哪一组图形中,AD,是,ABC,的,BC,边上的高,(),A,D,C,B,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,B,D,2024/11/18,31,3.如图，ABC中C=90，CDAB，图中线段中可以,5.,填空,：,（,1,）如图，,AD,BE,CF,是,ABC,的三条中线，则,AB=2,BD=,，,AE=,(2),如图，,AD,BE,CF,是,ABC,的三条角平分线，则,1=,，,3=_,，,ACB=_.,图,图,AF,DC,2,2,4,AC,ABC,2024/11/18,32,5.填空：(2)如
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