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第七,章,参数估计概念,矩估计,估计量评选的标准,参数估计,区间估计,第七章,第七章,上一章讨论了数理统计的基本概念，从这一章开始，研究数理统计的重要内容-统计推断。,所谓统计推断，就是根据从总体中抽取的一个样本,对总体进行分析和推断,即由样本来推断总体，这是数理统计的核心内容。,它的基本内容包括两大部分，一部分是参数估计，另一部分是假设检验。参数估计又分为点估计和区间估计两种。,第一节,参数估计的概念,(20),第七章,统计推断的目的是由样本推断总体的分布,.,一般来说，要想得到总体的精确分布是十分困难的,.,上一章介绍的经验分布可以作为总体分布的一个近似解.只有样本容量,n,无限大时,经验分布才以概率收敛于总体的分布函数,.,但是，在实际问题中样本容量,n,不,允许很大,.,根据中心极限定理可知:自然界和人类社会存在的大量的随机变量服从或近似服从正态分布,因此可以根据样本观测值对总体的分布类型作出某些推测或判断,（下一章介绍）.此外，有些统计推断问题，不关心总体分布的类型，只关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把这些数字特征称为参数,.,这时抽样的目的就是为了确定这些参数的数值.,参数,.,估计参数,.,例1,设某总体,，,试由样本,来估计,例2,设某总体,，,试由样本,来,上述二例中，,记为,.,如,例1中的,而例2中的,定义,:,中提取有关总体的信息，,出统计量的观测值,，,相应待估参数的值,.,称为参数的估计量,估计值,.,围，,参数的取值范围称为,参数空间,，,可以确定出参数的取值范,数的性质和实际问题，,是指从样本,所谓,参数估计,，,统计量,求,然后用样本值代入，,用该值来作为,且把统计量,称为参数,的,把,但根据参,参数的取值虽未知，,即构造样本的函数,参数估计分为点估计和区间估计两从大类,.,点估计,:,区间估计：,根据,样本,及样本值,构造一统,计量,，,计值,称点估计,.,.,内,构造,两个统计量：,使得待估参数以已知的较大的概率落在,指对总体中的一维参数 ，,为的区间估计,.,此时称,指对总体分布中的参数,，,作为,的估,将,为,的点估计量,则称,简,记为,第七章,第二节,点,估计量的求法,二、极大似然估计,一、矩估计,一、矩估计法：,矩估计法是一种古老的估计方法,.,由于样本来自于总体，因此样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征，因而可用样本矩作为总体矩的估计,.,的估计量,定义1,是其一个样本,得一个包含,个,未知数,的方程组,的一组解,中解出,用这个方程组的解,分别作为,该方法称为,矩估计法,.,的观察值称为矩估计值,.,的情形）,令,从,矩估计,量,这种估计量称为矩估计量，,（一般只需掌握,为总体,的待估参数，,假设,例1,又设,是来自总体,的一个样本，,的矩估计量,.,解:,所以得,因为,而,试求,令,的均值及方差,都存在但均未知，,设总体,注,：上述结果表明,总体均值与方差的矩估计量的表达式不会因总体的分布不同而异.同时又注意到，,总体均值,是用,样本均值,来估计的，而,总体方差,（即,总体二阶中心矩,）却不是用样本方差来估计的，而是用,样本二阶中心矩,来估计,.,那么，能否用,样本方差,来估计,总体方差,呢？能的话，样本二阶中心矩与样本方差哪个更好？这个问题下节课将再作详细讨论,.,这样看来，虽然矩估计法计算简单，不管总体服从什么分布，都能求出总体矩的估计量，但它仍然存在着一定的缺陷：对于一个参数，可能会有多种估计量,.,比如下面的例子：,求,的一个样本,解,:,，,例2,未知,是,的矩估计量,.,由以上例子可看出，这里的一个待估参数有两个不同的矩估计量,.,这样，就会给应用带来不便.为此，有如下改进的方法：,，,设,二、极大似然估计法,：,1,、似然函数,为样本的似然函数，,即,密度函数,:,定义1,设总体,的分布密度函数为,，,其中,（）,，,为待估参数,，（）,称之为,对数自然函数,.,上式两边取自然对数,得,是来自总体的一个样本，,则称样本的联合分布的,，,记为,、极大似然估计法,这种方法的基本思想是利用“,概率最大的事件最可能出现,”，即认为所抽取的样本是出现的概率最大的样本,.,样本也是随机变量，其出现的概率是与其密度函数有关的，要使样本出现的概率最大，只有密度函数在样本取这一样本值时取最大值,.,这里样本的分布类型已知，所以概率只与待估参数有关,.,极大似然估计就是利用：,样本的密度函数（样本的似然函数）在样本取这一样本值时取最大值,来估计参数,.,即把问题转化为求似然函数的最大值时待估参数的取值,.,(1),定义,:,的极大似然估计,.,则称,为,(2),具体做法与步骤,:,及样本的对数似然函数,当作自变量，,求最大值点,.,对,求导,上式称为似然方程,就是,的极大似然估计,.,把待估参数,利用高等数学的知识，,满足条件：,若统计量,，,写出样本的似然函数,得：,对数似然函数当作目标函数，,即：,则其解,若其有解，,例3：,未知，,为,的一个样本,.,的一个样本值，,是,解：,所以似然函数为：,取对数：,分别对,求导数：,，,设,的极大似然估计量及相应的估计值,.,求,由(1),，,的极大似然估计量分别为：,，,的极大似然估计值分别为：,；,代入,(2),则似然函数为：,通过分析可知，用解似然方程极大值的方法,例4,:,未知，,解：,，,以可用直接观察法：,求极大似然估计很难求解（因为无极值点），所,由于,的极大似然估计,.,求,，,设,的一样本，,为来自总体,设,有,则对于满足条件：,的任意,有,即,在,时取得最大值：,故,的极大似然估计量为：,记,，,.,作业,第七章 1;2;3 .,
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