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第,1,页,数学,高考总复习（文、理）,单击此处编辑母版文本样式,第八讲函数的奇偶性与周期性,第八讲函数的奇偶性与周期性,(1)如果对于定义域内每一个,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,),，那么函数,f,(,x,)就叫奇函数；都有,f,(,x,),f,(,x,),，函数,f,(,x,)叫偶函数；奇偶函数的定义域,关于原点对称,(大前提),(1)如果对于定义域内每一个x，都有f(x)f(x)，,(3)基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇奇,奇,，偶偶,偶,，奇奇偶，偶偶,偶,，奇奇,偶,，偶偶,偶,(分母不为零),奇函数的反函数是,奇函数,，奇函数的定义域包含0，则,F,(0)0,.,(4)图象特征：奇函数图象关于,原点,对称；偶函数图象关于,Y,轴,对称；反之亦然,(5)判定方法：首先看函数的,定义域是否关于原点对称,，若对称，再看：,(3)基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇奇奇，偶偶,2(1)对于函数,f,(,x,)，如果存在一个,非零,常数,T,，使得当,x,取定义域内的,每一个,值时，都有,f,(,x,T,),f,(,x,),，那么函数,f,(,x,)叫做周期函数，非零常数,T,叫,f,(,x,)的,周期,如果所有的周期中存在一个,最小的正数,，那么这个,最小正数,就叫,f,(,x,)的最小正周期,(2)周期函数,不一定,有最小正周期，若,T,0是,f,(,x,)的周期，则,kT,(,k,Z,)(,k,0)也一定是,f,(,x,)的周期，周期函数的定义域无,上、下,界,2(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x,考点陪练,1.对任意实数,x,，下列函数中的奇函数是(),A,y,2,x,3B,y,3,x,2,C,y,ln5,x,D,y,|,x,|cos,x,解析：,若,f,(,x,)ln5,x,，,则,f,(,x,)ln5,x,ln(5,x,),1,ln5,x,f,(,x,),函数,y,ln5,x,为奇函数,答案：,C,考点陪练,答案：,B,答案：B,答案：,A,答案：A,4已知,f,(,x,)是定义在,R,上的偶函数，对任意,x,R,，都有,f,(,x,4),f,(,x,),f,(2)，若,f,(1)2，则,f,(2007),f,(2009)等于(),A2009 B2,C2008 D4,解析：,令,x,1，有,f,(14),f,(1),f,(2)，即,f,(3)2,f,(2)，再令,x,3，有,f,(34),f,(3),f,(2)，即,f,(3),f,(2)2，这样可得,f,(3)2，,f,(2)0，这样,f,(,x,4),f,(,x,)周期为4，从而,f,(2007),f,(2009),f,(3),f,(1)224，故选D.,答案：,D,4已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f(,5定义在,R,上的函数,y,f,(,x,)具有下列性质：,f,(,x,),f,(,x,)0；,f,(,x,1),f,(,x,)1；,y,f,(,x,)在0,1上为增函数，则对于下述命题：,y,f,(,x,)为周期函数且最小正周期为4；,y,f,(,x,)的图象关于,y,轴对称且对称轴只有1条；,y,f,(,x,)在3,4上为减函数,正确命题的个数为(),A0 B1,C2 D3,5定义在R上的函数yf(x)具有下列性质：,答案：,B,答案：B,类型一判断函数的奇偶性,解题准备：,1.定义法：,(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称,(2)判断,f,(,x,)与,f,(,x,)的关系,(3)依据定义下结论：若,f,(,x,),f,(,x,)，则函数是奇函数；若,f,(,x,),f,(,x,)，则函数是偶函数；若,f,(,x,),f,(,x,)且,f,(,x,),f,(,x,)，则,f,(,x,)既是奇函数又是偶函数；若,f,(,x,),f,(,x,)且,f,(,x,),f,(,x,)，则,f,(,x,)既不是奇函数，也不是偶函数,类型一判断函数的奇偶性,2定义等价形式判断：,(1)若,f,(,x,),f,(,x,)0，则,f,(,x,)为奇函数,(2)若,f,(,x,),f,(,x,)0，则,f,(,x,)为偶函数,此种解法适合对数形式函数的判断,2定义等价形式判断：,3图象法：如图所示，如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数,如图，如果一个函数是偶函数，则它的图象是以,y,轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于,y,轴对称，则这个函数是偶函数,3图象法：如图所示，如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象,类型二函数的周期,解题准备：,1.周期函数：对于函数,y,f,(,x,)，如果存在一个常数,T,0，使得当,x,取定义域内的每一值时，都有,f,(,x,T,),f,(,x,)成立，那么函数,y,f,(,x,)叫周期函数，非零常数,T,叫做,f,(,x,)的周期,2最小正周期：周期函数的周期可以不止一个，如果在所有的周期中存在着一个最小正数，则称这个最小正数为该函数的最小正周期,3设,m,是非零常数，若对于函数,f,(,x,)定义域中的任意,x,，恒有下列条件之一成立：,(1),f,(,x,m,),f,(,x,)；,类型二函数的周期,点评,应注意应用奇偶性和周期性的定义,点评应注意应用奇偶性和周期性的定义,类型三抽象函数的奇偶性与周期性的综合,解题准备：,1.,f,(,x,)是偶函数且关于直线,x,a,对称，则,T,2|,a,|；,2,f,(,x,)是奇函数且关于直线,x,a,对称，则,T,4|,a,|.,类型三抽象函数的奇偶性与周期性的综合,证明,(1)令,x,y,0，则有,2,f,(0)2,f,(0),2,，,f,(0)0，,f,(0)1.,(2)令,x,0，则有,f,(,y,),f,(,y,)2,f,(0),f,(,y,)2,f,(,y,)，,f,(,y,),f,(,y,)，这说明,f,(,x,)为偶函数,证明(1)令xy0，则有,类型四抽象函数的奇偶性与单调性的综合,解题准备：,1.讨论函数的单调性和奇偶性时，应先确定函数的定义域,2奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性,3将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题型,类型四抽象函数的奇偶性与单调性的综合,【典例4】,函数,f,(,x,)的定义域为,D,x,|,x,0，且满足对于任意的,x,1,，,x,2,D,，有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),(1)求,f,(1)的值；,(2)判断,f,(,x,)的奇偶性并证明；,(3)如果,f,(4)1，,f,(3,x,1),f,(2,x,6)3，且,f,(,x,)在(0，)上是增函数，求,x,的取值范围,【典例4】函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足,解析,(1)令,x,1,x,2,1，有,f,(11),f,(1),f,(1)，解得,f,(1)0.,(2),f,(,x,)为偶函数证明如下：令,x,1,x,2,1，有,f,(1)(1),f,(1),f,(1),解得,f,(1)0.令,x,1,1，,x,2,x,，有,f,(,x,),f,(1),f,(,x,)，,f,(,x,),f,(,x,)，,f,(,x,)为偶函数,(3),f,(44),f,(4),f,(4)2，,f,(164),f,(16),f,(4)3.,f,(3,x,1),f,(2,x,6)3，即,f,(3,x,1)(2,x,6),f,(64)(*),f,(,x,)在(0，)上是增函数，且,f,(,x,)是偶函数，,f,(,x,)在(，0)上是减函数,解析(1)令x1x21，有f(11)f(1),快速解题,技法设,f,(,x,)是定义在,R,上的偶函数，它的图象关于直线,x,2对称，已知,x,2,2时，,f,(,x,),x,2,1，则,x,6，2时，,f,(,x,)的解析式是_,快解：,当,x,2,2时，,f,(,x,),x,2,1，如图所示,由,f,(,x,)的图象关于直线,x,2对称，得,f,(,x,),f,(4,x,)，又由,f,(,x,)是,R,上的偶函数，得,f,(,x,),f,(4,x,),f,(,x,)，知其周期为4，故知,x,6，2时，只需将,f,(,x,),x,2,1的图象左移4个单位，即得,f,(,x,)(,x,4),2,1.,快速解题,名师作业练全能,点击进入word,名师作业练全能 点击进入word,
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