4.4对数概念及其运算解析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.4,对数的概念及其运算,1对数的概念,引入,2,、解以下方程,10,x,=10010,x,=400,a,b,=N,1、2023年我国国民生产总值为a亿元，假设每年平,均增长率为8%，那么经过多少年国民生产总值是,2023时的2倍？,底数和幂的值，求指数问题。,一、对数的概念,假设ab=N(a0,a1)，,那么数b就叫作以a为底N的对数,记作,叫作,底数,叫作以,a,为底,N,的,对数,叫作,真数,a,log,N,b,=,N,b,a,a0,a1,bR,N0,常用对数：,lg x,自然对数：,ln x,例1：求以下各式中x的取值范围,例,2,：指数式、对数式互化,指数化成对数,对数化成指数,例3、用计算器计算以下各数的值：结果准确到0.01,(1)lg5.24 ,lg0.02 ,lg348,lg82,(2)猜测真数为何值时，对数为正或为负；,3用指数函数的性质解释你的结论。,小结,对数的概念由指数而来,底数、真数、对数的限制条件,指数形式、对数形式互化底数不变,解,1.08,x,=2,练习：P7练习4.41,回家作业,练习局部 习题4.4A组1，2，3B组1，2,homework,思考：,计算：lg2;lg200;lg0.002的值，争论,它们的首数与尾数有什么规律？,学问：一个整数的常用对数，都可以写成一个整数加上,一个正的纯小数或零的形式，其中整数局部叫做常,用对数的首数，小数或零局部叫做常用对数的尾数。,对数的制造,对数是中学初等数学中的重要内容，那么当时是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的制造者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家纳皮尔(JNapier,15501617)男爵,在纳皮尔所处的年月，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开头流行，这导致天文学成为当时的热门学科可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数学”，因此铺张了假设干年甚至毕生的珍贵时间,纳皮尔也是当时的一位天好者，为了简化计算，他多年潜心争论大数字的计算技术，最终独立制造了对数然而，纳皮尔所制造的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过争论直线运动得出对数概念的,那么，当时纳皮尔所制造的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是特别简单的运算，因此纳皮尔首先制造了一种计算特殊多位数之间乘积的方法让我们来看看下面这个例子：,(1)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，,(2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，,这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示2的指数，第(2)行表示2的对应幂假设我们要计算其次行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现比方，计算64256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：68=14；第一行中的14，对应其次行中的16384，所以有：64256=16384,纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了在“运用对数简化计算”的时候，承受的正是这种思路：计算两个简单的乘积，先查常用对数表，找到这两个简单数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出和值的反对数值，就是原先那两个简单数的乘积了这种“化乘除为加减”从而到达简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗?,经过多年的探究，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著奇异对数定律说明书，向世人公布了他的这项制造，并且解释了这项制造的特点,所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣宏大的导师恩格斯在他的著作自然辩证法中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学制造法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,17491827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了很多倍”,4.4,对数的概念及其运算,2,对数运算法则,任取两组,M,、,N,完成下表,M,N,M+N,M-N,MN,MN,lgM,lgN,lg(M+N),lg(M-N),lg(MN),lg(MN),lgM+lgN,lgM-lgN,lgMlgN,lgMlgN,从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一共性质。,并留意每共性质要满足什么条件才能成立,同底的积、商、幂对数性质,log,a,M+log,a,N=log,a,(MN),log,a,(MN)=log,a,M-log,a,N,log,a,M,n,=nlog,a,M,a0,a1M,N0,练习：判别以下结论是否正确：,留意成立条件,留意括号的重要性,典型的常见错误,例1、用 表示以下各式,2,、计算,例3、科学家以里氏震级来度量地震的强度。假设设I为,地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度r,可定义为r=(2/3)lgI+2,试比较6.9级和7.8级地震,的相对能量的比值准确到个位,练习,1、推断以下式是否正确,2,、下列各式中，与 的值相等的是（）,Page,书本,P10,3,、下列各式中，与 的值相等的是（）,4,、下列各式中，与 的值相等的是（）,5,、计算,小结,a0,a1,M,N0,(1)log,a,M+log,a,N=log,a,(MN),(2)log,a,(MN)=log,a,M-log,a,N,(3)log,a,M,n,=nlog,a,M,解,1.08,x,=2,思考题,1,、,2,1000,是几位数,2,、计算,3,、已知 ，试用,a,表示,5,、已知 ，则,的值为,_,回家作业,练习局部习题4.4A组4,5,6+思考题,4.4,对数的概念及其运算,2 对数运算法则习题课,对数的作用,2,1000,是几位数,宏大的导师恩格斯在他的著作自然辩证法中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学制造,法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,17491827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了很多倍”,1,：计算,4,、已知 ，试用,a,表示,3、，则,5,、已知,，求,6.,若,是方程,的两个根，,求,的值,7,、已知,，求,的最大值,回家作业,5,、已知 ，试用,a,b,表示,8.,已知,，求,的值,7,、已知,，求,的最小值,6,、已知,，求,4.4,对数的概念及其运算,3换底公式,预习,如何利用计算器求其他底的对数？,证明换底公式。,利用换底公式可得到哪些常见的公式？,解,1.08,x,=2,换底公式,常用性质,例题,1,：证明,例题2：求值1 2,例,3,：设,x,y,z,都是正数，且，求证：,例4：log182=a,1你可以用a表示哪些对数？,2如何用a来表示log32,练习,3、1，将以下各式用a的代数式表示,2，试用k表示,小结,介绍什么是换底公式,?,利用换底公式将不同底的对数处理成同底的形式,回家作业,Page 2练习局部习题4.4A组7,8,9B组5,6,