第4章离散傅里叶变换

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,4,章 图像变换,4.1,傅里叶变换,4.2,离散余弦变换,4.3 K-L,变换,4.4,小波变换,2024/11/18,第,4,章 图像变换,为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，然后通过逆变换操作转换到图像空间。,本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。,2024/11/18,1.,一维连续傅里叶变换,设,f(x,),为,x,的函数，如果,f(x,),满足下面的狄里赫莱条件：,(1),具有有限个间断点；,(2),具有有限个极值点；,(3),绝对可积。,则定义,f(x,),的傅里叶变换为：,2024/11/18,4.1,连续傅里叶变换,从,F(u,),恢复,f(x,),称为傅里叶反变换，定义为：,2024/11/18,上述二式形成傅里叶变换对，记做,：,函数,f(x,),的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表示：,F(u,)=,R(u)+jI(u,),R(u),I(u,),分别为,F(u,),的实部和虚部。,写成指数形式：,4.1,连续傅里叶变换,F(u,),为复平面上的向量，它有幅度和相角：,2024/11/18,幅度：,相角：,幅度函数,|,F(u,)|,称为,f(x,),的傅里叶谱或频率谱，,(u,),称为相位谱。,称为,f(x,),的能量谱或称为功率谱。,4.1,连续傅里叶变换,2.,二维连续傅里叶变换,傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数,f(x,y,),若,f(x,y,),满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶变化对：,2024/11/18,二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为：,2024/11/18,1.,一维离散傅里叶变换,对一个连续函数,f(x,),等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了,N,个点，则这个离散序列可表示为,f(0),f(1),f(N-1),。借助这种表达，并令,x,为离散空域变量，,u,为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：,4.1.2,离散傅里叶变换,傅里叶反变换定义由表示：,2024/11/18,可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。,其傅里叶谱、相位和能量谱如下：,4.1.2,离散傅里叶变换,2.,离散傅里叶变换（,DFT,）的矩阵表示法,由,DFT,的定义，,N,4,的原信号序列,f(x,)=f(0),f(1),f(2),f(3),的傅里叶变换,F(u,),展开为：,2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,将,e,指数项化简可写成矩阵形式：,2024/11/18,记作：,可用复平面的单位圆来求,W,的各元素。如图,4-1,所示。当,N=4,时，参看图,4.1(a),。,把单位圆分为,N=4,份，则正变换矩阵第,u,行每次移动,u,份得到该行系数。,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,(a),(b),图,4.1,复平面单位圆,(,a)N,4(,b)N,8,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,同理,N=8,见图,4-1(b),的单位圆。,N=8,的,W,阵应把单位圆分为,8,份，顺时顺次转,0,份,1,份、,7,份，可得,W,阵为,:,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,2.,二维离散傅里叶变换,一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。,如果一幅二维离散图像,f(x,y,),的大小为,M*N,，则二维傅里叶变换可用下面二式表示。,2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是,M=N,。正逆变换对具有下列对称的形式：,2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,3.,二维离散傅里叶变换的性质,二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为使用提供了极大的方便。,1,）分离性,二维离散傅里叶变换具有分离性,2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得,F(u,v,),。第,1,步，沿着,f(x,y,),的每一行取变换，将其结果乘以,1/N,取得二维函数,F(x,v,);,第,2,步，沿着,F(x,v,),的每一列取变换，再将结果乘以,1/N,就得到了,F(u,v,),。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。,如图,4.6,所示。,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,行变换,列变换,图,4.6,把二维傅里叶变换作为一系列一维的计算方法,4.1.2,离散傅里叶变换,对逆变换,f(x,y,),也可以类似地分两步进行。,2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,2,）平移性,傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指：,2024/11/18,由,f(x,y,),乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率平面的原点位移至,(u,0,v,0,),。同样地，以指数项乘以,F(u,v,),并取其反变换，将空间域平面的原点位移至,(x,0,y,0,),。当,u,0,=v,0,=N/2,时，指数项为：,4.1.2,离散傅里叶变换,即为,：,2024/11/18,这样，用（,-l,）,(,x+y,),乘以,f(x,y,),就可以将,f(x,y,),的傅里叶变换原点移动到,N*N,频率方阵的中心，这样才能看到整个谱图。另外，对,f(x,y,),的平移不影响其傅里叶变换的幅值。,此外，与连续二维傅里叶变换一样，二维离散傅里叶变换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。,4.1.2,离散傅里叶变换,3.DFT,应用中的问题,1,）频谱的图像显示,DFT,在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图像化。对,DFT,来讲不但,f(x,y,),是图像,F(u,v,),也要用图像来显示其结果。,谱图像就是把,|,F(u,v,)|,作为亮度显示在屏幕上。但在傅里叶变换中,F(u,v,),随,u,v,的衰减太快，其高频项只看到一两个峰，其余皆不清楚。,由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号为,D(u,v,),2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,即用显示,D(u,v,),来代替只显示,|,F(u,v,)|,不够清楚的补救方法。,谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频率并可方便地从频域去除。,如图,4.7,为图像的傅里叶频谱图像,2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,图,4.7,图像的傅里叶频谱图像，原始图像，,(b),频谱直接显示，,(c),频谱经过变换后的结果,(b),(c),4.1.2,离散傅里叶变换,a.,a.,2.,频谱图像的移中显示,常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，为了观察方便，将频谱图像的零点移到显示的中心。,当周期为,N,时，应在频域移动,N/2,。利用,DFT,的平移性质，先把原图像,f(x,y,),乘以,(-1),(x+y),然后再进行傅里叶变换，其结果谱就是移,N/2,的,F(u,v,),。图,4-8,所示。,应当注意，显示是为了观看，而实际,F(u,v,),数据仍保留为原来的值。,2024/11/18,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,图,4.8,频谱图像的移中显示,(a),未移至中心的频谱图像，,(b),移至中心,后的频谱图像,(a),(b),4.1.2,离散傅里叶变换,3.,旋转性,应用中，对两幅图像进行傅里叶变换后，为求两幅图像的相似性，常须对频域图进行旋转寻找匹配。此时,FT,公式常用极坐标表示为傅里叶变换对。设,f(x,y,),为原图中任一点的坐标，,为,(,x,y,),点与,x,轴的夹角，则傅里叶变换对为：,2024/11/18,若空域,频域,4.1.2,离散傅里叶变换,则旋转不变性质为：,2024/11/18,上式表明，在空域中对图像,f(x,y,),旋转,0,对应于将其傅里叶变换,F(u,v,),也旋转,0,，类似的，对,F(u,v,),旋转,0,也对应于将其傅里叶反变换,f(x,y,),旋转,0,。,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,(a),(b),图,4.9,傅里叶变换的旋转性，对比图,4.8,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,4.,数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性,1),数字图像傅里叶变换的频谱分布,数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如图,4.10,所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用,f,(,x,，,y,),乘上 因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,图,4.10,二维傅里叶变换的频谱分布,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,图,4.11,频率位移示例,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,图,4.11,为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。,2,）图像傅里叶变换的统计分布,（,1,）傅里叶变换后的零频分量,F,（,0,，,0,），也称作直流分量，根据傅里叶变换公式有：,它反映了原始图像的平均亮度。,4.1.2,离散傅里叶变换,2024/11/18,（,2,）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了,85,的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。,（,3,）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。,4.1.2,离散傅里叶变换,