p4转动惯量表要点

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆环,(,转轴沿几何轴,),R,圆环,(,转轴,沿直径,),圆柱,细棒,圆盘和圆柱,圆盘,(,转轴,沿直径,),(,转轴,过中心与几何轴线垂直,),(,转轴,过中心与棒垂直,),(,转轴过端点与棒垂直,),球壳,(,转轴,沿直径,),球体,(,转轴,沿直径,),R,R,L,L,L,L,2,R,2,R,R,2,R,1,圆圈和圆筒,R,2,R,1,R,常见物体的转动惯量,(,转轴沿几何轴,),(,转轴沿几何轴,),细棒,L,L,(,转轴,过中心与板面垂直,),及薄板,薄板,N,试求质量为,M,长和宽分别为,L,和,N,的匀质矩形的转动惯量,其转轴,是,L,边的中垂线,.,解,矩形的面积为,S=LN,取一矩形面积元,d,S=N,d,x,矩形元的转动惯量为,d,J=x,2,d,m=N,x,2,d,x,质量的面密度为,=M/S=M/LN,.,其质量为,d,m=,d,S=N,d,x,矩形的转动惯量为,M,争论:(1)转动惯量与N边的大小无关,当N边很小的时候,矩形就变成细棒,转动惯量不变.,L,N,y,o,d,S,x,d,x,(2)假设转轴是N边的中垂线,则转动轴量为,L,试求质量为,M,长和宽分别为,L,和,N,的匀质矩形的转动惯量,其转轴,通过中心且与板面垂线,.,解,矩形的面积为,S=LN,质量的面密度为,=M/S=M/LN,.,在矩形上取一矩形面积元,d,S=,d,x,d,y,质量元的转动惯量为,d,J=r,2,d,m=,(,x,2,+,y,2,)d,x,d,y,其质量为,d,m=,d,S=,d,x,d,y,矩形绕,z,轴的转动惯量为,y,o,M,d,S,L,N,x,r,方法一,:,质点法,.,z,在矩形上取一质量元,d,m,绕,z,轴的转动惯量为,d,J=r,2,d,m=,(,x,2,+,y,2,)d,m,=x,2,d,m,+y,2,d,m,矩形绕,z,轴的转动惯量为,y,o,M,d,m,L,N,x,r,方法二,:,正交轴定理,.,z,其中,x,2,d,m,是,d,m,绕,y,轴的转动惯量,d,J,y,y,2,d,m,是,d,m,绕,x,轴的转动惯量,d,J,x,所以,d,J=,d,J,y,+d,J,x,而矩形绕,x,轴的转动惯量为,J,x,=MN,2,/12,因此,J=,J,x,+,J,y,矩形绕,y,轴的转动惯量为,J,y,=ML,2,/12,在矩形上取一长为,N,宽为,d,x,的面积元,d,m,y,o,M,d,S,L,N,x,方法三,:,平行轴定理,.,z,依据平行轴定理,面积元绕z轴的转动惯量为,矩形绕,z,轴的转动惯量为,绕z”轴的转动惯量为,其面积为,d,S=N,d,x,其质量为,d,m,=,d,S,z”,试求质量为,M,半径为,R,的匀质圆环的转动惯量,其转轴沿着直径,.,解,方法一,:,质点法,.,圆环的周长为,C=,2,R,在圆环上取一弧元,长度为,d,s=R,d,弧元的转动惯量为,d,J=D,2,d,m=R,2,cos,2,R,d,质量的线密度为,=M/C=M/,2,R,;,其质量为,d,m=,d,s=,R,d,整个圆围绕直径的转动惯量为,R,D,o,M,d,s,弧元到轴线的距离为,D=R,cos,=,R,3,cos,2,d,方法二:正交轴定理.由于对称,圆围绕x轴和绕y轴的转动惯量相等,即Jx=Jy,其中,x,2,d,m,是,d,m,绕,y,轴的转动惯量,d,J,y,y,2,d,m,是,d,m,绕,x,轴的转动惯量,d,J,x,所以,d,J,z,=,d,J,y,+d,J,x,而圆围绕z轴的转动惯量为Jz=MR2,在圆环上取一质量元,d,m,绕,z,轴的转动惯量为,d,J,z,=R,2,d,m,由于,R,2,=,x,2,+,y,2,可得,d,J,z,=,(,x,2,+,y,2,)d,m,=x,2,d,m,+,y,2,d,m,所以圆围绕x轴或y轴的转动惯量为,这就是圆围绕直径的转动惯量.,R,o,M,d,m,x,y,z,因此,J,z,=,J,x,+,J,y,=,2,J,x,=,2,J,y,试求质量为M,半径为R的均匀圆盘的转动惯量,其转轴沿着直径.,解,圆盘的面积为,S=,R,2,方法一,:,质点法,.,在圆盘上取一面元,面积为,d,S=r,d,d,r,质量元的转动惯量为,d,J=D,2,d,m=,cos,2,d,r,3,d,r,质量的面密度为,=M/S=M/,R,2,.,其质量为,d,m=,d,S=,r,d,d,r,整个圆盘绕直径的转动惯量为,D,o,M,d,S,质量元到轴线的距离为,D=r,cos,r,方法二,:,圆环法,.,在圆盘上取一细圆环,面积为,d,S=,2,r,d,r,其质量为,d,m=,d,S=,2,r,d,r,圆环的转动惯量为,d,J=r,2,d,m,/2,=,r,d,r,圆盘的转动惯量为,R,o,M,d,S,r,争论:在质点法中,质量元的转动惯量可表示为,对圆括号中的从0到2的积分值为,方括号中就是圆环的面积dS,这时dJ表示圆环的转动惯量,可见:圆环法的根底照旧是质点法.,R,方法三,:,细棒法之一,.,在圆盘上取一平行于轴的细棒,其长度为,l=,2,R,sin,R,l,o,M,d,S,y,x,由于,x=R,cos,其宽度为,|d,x,|,=R,sin,d,其质量为,d,m=,d,S=,2,R,2,sin,2,d,细棒的转动惯量为,圆盘绕直径的转动惯量为,其面积为,d,S=l,|d,x,|,=,2,R,2,sin,2,d,方法四,:,细棒法之二,.,在圆盘上取一垂直于轴的细棒,其长度为,l=,2,R,cos,其质量为,d,m=,d,S=,2,R,2,cos,2,d,细棒的转动惯量为,圆盘绕直径的转动惯量为,R,l,o,M,d,S,由于,y=R,sin,其宽度为,d,y=R,cos,d,y,其面积为,d,S=l,d,y=,2,R,2,cos,2,d,依据公式,可得,x,n,为偶数,.,方法五,:,正交轴定理,.,圆盘绕,x,轴和绕,y,轴的转动惯量相等,J,x,=J,y,可得,d,J,z,=,(,x,2,+,y,2,)d,m=,d,J,y,+,d,J,x,因此得,J,z,=J,y,+J,x,=2,J,x,=2,J,y,而圆盘绕,z,轴的转动惯量为,在圆盘上取一质量元,d,m,绕,z,轴的转动惯量为,d,J,z,=r,2,d,m,y,由于,r,2,=,x,2,+,y,2,x,R,o,M,r,z,所以圆盘绕,x,轴或,y,轴的转动惯量为,这就是圆盘绕直径的转动惯量,.,d,m,试求质量为M,半径为R的均匀球壳的转动惯量,其转轴沿着直径.,解,球壳的面积为,S=,4,R,2,方法一,:,质点法,.,在球壳上取一面积元,其大小为,质量的面密度为,=M/S=M,/4,R,2,.,o,M,d,S,z,y,R,x,转动惯量为,d,J=D,2,d,m=,R,4,d,sin,3,d,到转动轴,z,的距离为,D,=R,sin,球壳绕,z,轴的的转动惯量为,d,S=R,2,sin,d,d,其质量为,d,m=,d,S=,R,2,sin,d,d,D,方法二,:,圆环法之一,.,在球壳上取一细圆环,其轴线是球壳的转动轴,.,细环的转动惯量为,d,J=r,2,d,m=,2,R,4,sin,3,d,其质量为,d,m=,d,S=,2,R,2,sin,d,球壳绕直径的转动惯量为,R,r,o,M,d,S,d,其弧宽为,d,s=R,d,其面积为,d,S=,2,r,d,s=,2,R,2,sin,d,细环半径为,r=R,sin,d,s,方法三,:,圆环法之二,.,在球壳上取一细圆环,其轴线与转动轴垂直,.,R,r,o,M,d,S,D,细围绕过半径的转动惯量为 dJc=r2dm/2,依据平行轴定理得 dJ=dJc+D2dm,由于左右对称,球壳绕直径的转动惯量为,其质量为,d,m=,d,S=,2,R,2,cos,d,其弧长为,d,s=R,d,其面积为,d,S=,2,r,d,s=,2,R,2,cos,d,细环半径为,r=R,cos,细环到轴线的距离为,D=R,sin,=,R,4,cos,3,d,+,2,R,4,sin,2,cos,d,=,R,4,(1+sin,2,),cos,d,方法四,:,正交轴定理,.,在球壳上取一质量元,d,m,绕过,z,轴的转动惯量为,d,J,z,=D,2,d,m,=(,x,2,+,y,2,)d,m,即,d,J,o,=d,J,z,+,d,J,y,+,d,J,x,/2,所以,J,o,=,(,J,x,+,J,y,+,J,z,)/2,.,由于,d,J,o,=,(,x,2,+,y,2,+,z,2,)d,m,o,M,d,m,z,y,R,x,D,同理,绕过,y,轴的转动惯量为,d,J,y,=,(,z,2,+,x,2,)d,m,绕过,x,轴的转动惯量为,d,J,x,=,(,y,2,+,z,2,)d,m,.,该质量元绕,o,点的转动惯量为,d,J,o,=R,2,d,m,积分得球壳绕,o,点的转动惯量为,J,o,=MR,2,.,=(,x,2,+,y,2,)d,m,+(,y,2,+,z,2,)d,m,+(,z,2,+,x,2,)d,m,/2,由对称可得,J,x,=J,y,=J,z,所以,J,o,=3,J,z,/2,.,因此,J,z,=2,J,o,/3,即,这种方法避开了积分运算.,试求质量为M,半径为R的均匀球体的转动惯量,其转轴沿着直径.,解,球体的体积为,V=,4,R,2,/3,方法一,:,质点法,.,在球体中取一体积元,其体积为,转动惯量为,d,J=D,2,d,m=,d,sin,3,d,r,4,d,r,质量的体密度为,=M/V,.,到转动轴,z,的距离为,D,=r,sin,球体的转动惯量为,o,M,d,v,d,v=r,2,sin,d,d,r,d,r,z,y,R,x,其质量为,d,m=,d,v=,r,2,sin,d,d,r,d,D,方法二,:,圆盘法之一,.,在球体上取一薄圆盘,其轴线是球体的转动轴,.,圆盘的转动惯量为,d,J=y,2,d,m,/2,=,R,5,sin,5,d,/2,其质量为,d,m=,d,v=,R,3,sin,3,d,球体的转动惯量为,o,M,d,v,由于,z=R,cos,其厚度为,|d,z,|,=R,sin,d,其体积为,d,v=,y,2,|d,z,|,=,R,3,sin,3,d,圆盘的半径为,y=R,sin,y,R,z,y,设,u=,cos,则,d,u=,-sin,d,可得转动惯量,注,:,利用积分公式可以直接计算转动惯量,:,n,是奇数,.,方法三,:,圆盘法之二,.,在球体上取一薄圆盘,其轴线与球体的转动轴垂直,.,其质量为,d,m=,d,v=,R,3,cos,3,d,由于对称,可得球体的转动惯量为,o,M,d,v,由于,y=R,sin,其厚度为,d,y=R,cos,d,其体积为,d,v=,z,2,d,y=,R,3,cos,3,d,圆盘的半径为,z=R,cos,z,R,z,y,y,圆盘绕半径的转动惯量为,d,J,c,=z,2,d,m,/4,依据平行轴定理得圆盘的转动惯量 dJ=dJc+y2dm,即,:,方法四,:,球壳法,.,在球体上取一半径为,r,厚度为,d,r,薄球壳,其质量为,d,m=,d,v=,4,r,2,d,r,球体的转动惯量为,o,M,d,v,R,z,y,球壳绕半径的转动惯量为,其体积为,d,v=,4,r,2,d,r,r,由此可见:用球壳法求球体的转动惯量最简洁.,方法五,:,正交轴定理,.,在球体内取一体积元,d,v,绕过,z,轴的转动惯量为,d,J,z,=d,2,d,m,=(,x,2,+,y,2,)d,m,即,d,J,o,=d,J,z,+,d,J,y,+,d,J,x,/2,所以,J,o,=,(,J,x,+,J,y,+,J,z,)/2,.,由于,d,J,o,=,(,x,2,+,y,2,+,z,2,)d,m,=(,x,2,+,y,2,)d,m,+(,y,2,+,z,2,)d,m,+(,z,