理学计算物理ppt课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,*,Computation Physics,计算物理,学习和了解物理计算的桥梁,11/18/2024,1,Computation Physics计算物理学习和了解物理,计算物理方法,是研究并解决物理问题的数值近似解的方法，简称计算物理，也叫,算法,物理等。,算法,：,从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。,第0章 绪论,0.1 计算物理方法和算法,11/18/2024,2,计算物理方法是研究并解,运算量,：,一个算法所需的乘除运算总次数.,计算量是衡量一个算法好坏的重要指标。,11/18/2024,3,运算量：一个算法所需的乘除运算总次数.9/15/2023,算法优劣的重要性,例1,已知,a,0,a,1,a,2,a,n,x,计算多项式：,直接计算,：,运算量,（乘）,秦九韶算法,（1247年）：,运算量,：,11/18/2024,4,算法优劣的重要性例1 已知 a0,a1,a2,例 2,解线形方程组,其中，,克兰姆(Cramer)法则,：,运算量,(乘除)：,高斯消元法(Gauss),：,运算量,(乘除),Gauss:,3060次；,Cramer:,11/18/2024,5,例 2 解线形方程组其中，9/15/20235,本课程的任务：,建立各种物理问题的计算物理算法的方法和理论。通俗地讲，就是为各种实际物理问题提供有效的数值近似解方法。,提供在计算机上实际,可行,的、理论,可靠,的、计算,复杂 性,好,的各种常用物理算法。,11/18/2024,6,本课程的任务：建立各种物理问题的计算物理算法的方法和理,计算机解决实际物理问题的步骤,建立物理模型,选择数值方法,编写程序,上机计算,11/18/2024,7,计算机解决实际物理问题的步骤9/15/20237,学习方法,1.注意掌握各种方法的基本原理,2.注意各种方法的构造手法,3.重视各种方法的误差分析,4.做一定量的习题和练习,5.注意与实际问题相联系,11/18/2024,8,学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理9/15/20238,先修课程和后续课程,：,先修课程：,基础物理,高等数学，线性代数，常微分方 程，计算机语言等。,后继课程,：数值代数，数值逼近，最优化方法等。,11/18/2024,9,先修课程和后续课程：先修课程：基础物理,高等数学，线性,参考书：,1.计算物理引论,2.数值分析,李庆扬，王能超，易大义编。清华大,学出版社,2001,11/18/2024,10,参考书：9/15/202310,0.2 误差与有效数字,误差的来源,1、,模型误差,指数学模型与实际问题之间出现的误差。,2、,观测误差,由观测产生的误差。,3、,截断误差,当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为,截断误差,。如函数,f,(,x,),用Taylor展式的有限项来近似代替。,4、,舍入误差,由于受计算机字长的限制，计算时只能取有限位数进行运算，由此产生的误差称,舍入误差,。,11/18/2024,11,0.2 误差与有效数字误差的来源9/15/202311,(绝对)误差,设,x*,为精确值（或准确值,），,x,为,x*,的近似值，称,e,=,x,*,x,为近似值,x,的,(绝对)误差,。,(绝对)误差限,（,）,如果精确值,x*,与近似值,x,的误差的绝对值不超过某个正数,，,即,|,e|=|x*x|,。,于是，精确值也可表示为,x*=x,，,或,误差的概念,11/18/2024,12,(绝对)误差 误差的概念9/15/202312,例如,近似值,x,1,=123.456 和,x,2,=0.0123456。它们的绝 对误差限分别为：,绝对误差限不超过该近似数末位的半个单位。,123.455,9,123.456,3,5个,单位,11/18/2024,13,例如 近似值 x1=123.456 和 x2=0.,相对误差,先看两种产品的不合格率：,8/1000=0.8%；12/2000=0.6%（相对误差的值）,定义：,设,x,*为精确值，,x,为近似值，相对误差为,当绝对误差,e,较小时，相对误差可写为,11/18/2024,14,相对误差先看两种产品的不合格率：9/15/202314,相对误差限,相对误差限,定义,如果有正数,r,使得,则称,r,为,x*,的相对误差限。,例如,近似值,x,=123.456，则,11/18/2024,15,相对误差限相对误差限定义 如果有正数r使得,有效数字：,设,x,*的近似值为,p,为整数，若,x,的绝对误差限不超过末位的半个单位，即,则称用,x,近似,x,*是具有“,n,位有效数字,。,”,例0.1,x=,12.34；,y=,0.004067（均为4位）；,3.00（3位），3.0000（5位）。,|,3.14,|,10,(,n,p,),/2=10,2,/2 (,n,=3,p,=1)。,0.314,10,1,表示数,x,的末位的半个单位,11/18/2024,16,有效数字：设 x*的近似值为,0.3 约束误差,计算物理的选择,在计算物理中，要讨论计算公式的收敛性、稳定性和截断误差。,约束误差,就是要选择收敛性要求低、稳定性好的计算物理。,提高计算物理精度,数值在计算机中存放的位数称为,字长,。,有限位的字长是带来舍入误差和拟制计算物理精度的根源。因此，选用字长长的计算机和增加数的有效位数可以提高计算物理精度。,11/18/2024,17,0.3 约束误差计算物理的选择9/15/202317,0.4,范数,在实轴上，任意两点,a,b,之间的距离可以用绝对值|,ab,|来度量。三维空间R,中向量的长度为,向量范数是用来衡量向量的大小，它是三维空间中向量长度概念的推广。,向量范数,矩阵范数,11/18/2024,18,0.4 范数在实轴上，任意两点a,b之间的距离可以用绝对,向量范数的定义,定义,任意向量,x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,R,n,，,按照一定,规则,对应一个,非负实数，记为,x,如果满足：,（1）非负性,x,0，而且,x,=0 当且仅当,x,=,0,；,（2）齐次性,x,R,n,，,R,，有,x,=|,a,|,x,；,（3）三角不等式,则称,x,为向量,x,的范数。,即定义的形式,11/18/2024,19,向量范数的定义定义 任意向量x=(x1,x2,x,R,n,中常用范数形式：,设,x=,(,x,1,x,2,x,n,),T,，,1-范数：,x,1,=|,x,1,|+|,x,2,|+|,x,n,|=,2-范数：,x,2,=,-范数,:,x,=,max|,x,1,|,|,x,2,|,|,x,n,|=,p,-范数：,x,p,=,11/18/2024,20,Rn中常用范数形式：设x=(x1,x2,xn),注：定义中的规则十分重要,若定义,x,=,x,1,+x,2,+,x,n,就构不成范数，因为由,x,=0不能推出,x,0。例如，,x,=（1，-1，0），,显然，,x,=0，但是，,x,0。,例0.2,已知,x=,(1,3,-5)，求1，2，,-范数。,x,1,=1+3+5=9;,x,2,=(1,2,+3,2,+5,2,),1/2,;,x,=max1,3,|-5|=5.,11/18/2024,21,注：定义中的规则十分重要若定义x=x1+x2+x,范数的等价性和等价性定理,定义,设,和,为R,n,上定义的两种范数，若存在,非负常数,C,1,C,2,使,x,R,n,成立,C,1,C,2,，,则称,和,为R,n,上的等价范数。,定理 0.1,有限维空间,R,n,上的所有范数都等价。,容易验证：,（1）,x,2,x,1,n,1/2,x,2,；,（2）,x,x,2,n,1/2,x,；,（3）,x,x,1,n,x,。,3种范数相互等价,11/18/2024,22,范数的等价性和等价性定理定义 设 和 为,证明提示,：（,1）,由,x,1,2,+,x,2,2,+,+,x,n,2,(|,x,1,|+|,x,2,|+,+|,x,n,|),2,，,两边开方得第一式成立；,由(|,x,1,|+|,x,2,|+,+|,x,n,|),2,n,(|,x,1,|,2,+|,x,2,|,2,+,+|,x,n,|,2,)，,两边开方得第二式成立。,11/18/2024,23,证明提示：（1）由 x12+x22+,向量范数的收敛性,定义,如果向量序列,x,(,k,),R,n,和向量,x,R,n,满足,则称,x,(,k,),（依范数）收敛于,x,，记为,定理0.2,R,n,中向量序列,x,(,k,),（依范数）收敛于,x,的充分,必要条件是,(见注),11/18/2024,24,向量范数的收敛性定义 如果向量序列x(k)Rn和,例0.3,求向量序列 的极限向量。,解：,11/18/2024,25,例0.3 求向量序列,矩阵范数,定义,设,A,R,n,n,为,n,阶实矩阵,，,按照一定规则对应一个非负,实数，记为,A,如果,A，B,R,n,n,满足：,(1)非负性：,A,0，而且,A,=0 当且仅当,A,=,0,；,(2)齐次性：,A,=|,|,A,C,；,(3)三角不等式：,A+B,A,+,B,;,(4),AB,A,B,;,(5)相容性：,Ax,A,x,，,x,R,n,;,则称,A,为矩阵,A,的范数。,11/18/2024,26,矩阵范数定义 设ARnn为n阶实矩阵，按照一定规则对,矩阵范数可以用向量范数定义,设,A,R,n,n,为,n,阶实矩阵，定义矩阵范数为,3种常用矩阵范数：,（1）（列向量范数中的最大者）,（2）（行向量范数中的最大者）,（3）（其中,1,为A,T,A的最大特征值,）,11/18/2024,27,矩阵范数可以用向量范数定义 设ARnn为n阶实矩阵，,欧几里得(Euclid)范数或舒尔(Schur)范数：,定义为,例0.4,求4种范数。,解：,A,1,=max|1|+3，2+7；,A,=max|1|+2，3+710；,A,T,A的特征值,1,=60.19，,2,=2.81,A,2,=,1,1/2,=,60.19,1/2,，,A,E,=(1+4+9+49),1/2,=63,1/2,。,11/18/2024,28,欧几里得(Euclid)范数或舒尔(Schur)范数：定义为,矩阵范数的收敛性,定义,如果,n,阶矩阵序列,A,(,k,),R,n,n,和矩阵,A,R,n,n,满足,则称,A,(,k,),（依范数）收敛于,A,，记为,定理0.3,R,n,n,中矩阵序列,A,(,k,),收敛于矩阵,A,的充分,必要条件是（,A,(,k,),=(,a,ij,(,k,),),n,n,A,=(,a,ij,),n,n,）,11/18/2024,29,矩阵范数的收敛性定义 如果n阶矩阵序列A(k)R,矩阵的谱半径,定义,设,n,阶矩阵,A,的,n,个特征值为,1,，,2,，,，,n,，矩,阵的谱半径定义为,由2-范数的定义知，,谱半径与矩阵范数的关系,定理,0.3,(,A,),A,.,证明,设,为矩阵A的任一特征值，,x,为对应的特征向量，,由矩阵的定义知，,|,|,x,=,x,=,Ax,A,x,.,因为,x,0，所以，|,|,A,.由,的任意性，定理,得证。,实特征值为绝对值,复特征值为模,x,0，因为特征值,满足特征方程，,即|,I,A,|=0,所以，,Ax,=,x,有非零解,x,。,11/18/2024,30,矩阵的谱半径定义 设n阶矩阵A的n个特征值为1，2，,特别地，对于对称矩阵有：,定理0.4,如果,A,R,n,n,为对称矩阵，则,A,2,=,(,A,).,证明,因为A为对称矩阵，即A,