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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,10.2,第二型曲线积分的计算,1.,直接计算法,2.,利用格林公式化为二重积分计算,格林公式：,P(x,y),、,Q(x,y),在,D,上具有一阶连续偏导数，,L,+,则,3.,利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径,D,：单连域，,P,、,Q,在,D,上具有一阶连续偏导数,且,0,x,y,Y,2,=x,Y=x,2,(1,1),例,3,计算积分,B,（,2,，,0,）,解,1,选,x,为参数,解,2,选,y,为参数,类似解法,1,，计算仍然麻繁,.,0,A,（,1,，,1,）,y,1,x,（补线段,B0,和,0AB,构成闭合路径，方向取顺时针）,比较以上几种解法，方法,5,最简便，方法,6,次之,.,其中,L,为曲线,y=sinx,按,x,增大方向,.,解,应用格林公式,x,A,0,y,L,D,L,-,补线段,0A,，使之成为和,L,-,所围成区域,D,的边界曲线正向,.,0A:y=0 dy=0.dx,所以,例,5,计算曲线积分,其中,L,是由,y,2,=2(x+2),及,x=2,所围成的区域,D,的边界，,L,的方向为逆时,针方向,.,解 ,当,x=y=0,时，,无意义；且 在原点不成立，该点又,在题设圆内，所以不能直接利用格林公式计算，但以,原点为中心，可作一半径为,的小圆包含该奇点，即挖去此不连,0,y,L,L,1,x,续点，在形成的复连通区域上再应用格林公式计算,.,如图，在,L,包围的区域,D,内作顺时针方向的小圆周,L,1,：,在,L,与,L,1,包围的区域上，由 和格林公式，,L,为从点,A,（,2,0),沿曲线 到点,o(0,0),的的弧,.,解,添加从点,o(0,0),沿,y=0,到点,A,（,2,0),的有向直线段,L,1,，,由格林公式，前一积分,例,6,计算曲线积分,L,1,L,2,L,3,X,Y,Z,0,利用被积函数及积分路径的对称性,例,7,计算曲线积分,其中,L,是从原点到,A,（,2,，,2,）再到,B,（,4,，,0,）的折线,.,x,A(2,2,),B(4,0),y,o,D,L,L,-,解1,补线段,0B,使,0B,和积分路径,L,围成区域,D,，且,0B+L,-,成为,D,的边界曲线的正向，由格林公式,例,8,计算 其中,ABCDA,是逆时针正方形闭回路,|x|+|y|=1,A,点在,x,轴正方向上,.,解,想图易知 ，此正方形的四个顶点坐标分别为：,A,（,1,，,0,），,B,（,0,，,1,），,C,（,-1,，,0,），,D,（,0,，,-1,）,.,四边的方程分别为：,AB,：,x+y=1;BC:-x+y=1;CD:-x-y=1;DA:x-y=1,即,y=1-x;y=1+x;y=-1-x;y=x-1.,例,9,试确定,a,、,b,之值，使 是某函数,u(x,y),的全微分，并求出这样的一个原函数,.,解,由题设之式是,du,有,P,y,=Q,x,即,这里原点,(0,0),是,P,、,Q,的不连续点（奇异点），求,u(x,y),时须选取,(x,0,y,0,)(0,0),不妨取为,(0,1),并选择折线作为积分路径，代入,a,、,b,之,值，算得,A(0,1),B(0,y),C(x,y),x,y,0,二、,曲面积分的计算法,曲面积分计算的关键是要明确被积函数,f(x,y,z),为定义在积分曲,面,上的连续函数，,x,y,z,之间符合的方程，故可化为二重积分计算，,切不可与三重积分混淆。且第一型曲面积分与的方向无关，第二,型曲面积分与的方向有关。,10.2,第一型曲面积分的计算,例,11,计算曲面积分,其中曲面,s,是球面,x,2,+y,2,+z,2,=a,2,的下半部，法线朝上，,是曲面,s,的法线正向与,0z,轴正向的夹角,.,解,：根据第一，第二型曲面积分之间的关系,直接计算法,（,前正后负）,（,上正下负）,（,右正左负）,2.,利用高斯公式化为三重积分,若,P,（,x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),在空间域,及边界曲面上有连续偏,导数，取外侧，则,3.,利用斯托斯公式化为线积分,y,0,x,1,Z=x,1,x,z,0,D,ZX,.,2,所围成的立体表面外侧,及,=,z,（在第九章习题课中已计算过 此三重积分）,e,R,0,Q,P,2,2,2,z,y,x,+,=,=,=,利用高斯公式,解,2,2,y,x,e,z,R,y,Q,x,P,z,+,=,+,+,W,+,=,dxdydz,y,x,e,z,2,2,原式,注意：切不可如下计算,（,a,0,0),0,y,z,x,1,0,x,z,y,1,1,解,利用两类面积分的关系计算,平面,的法向量,n=1,-1,1,单位法向量,其中平面,与三条坐标轴的截距为,1,所成三角形的边长均为,，高线长,0,1,1,1,1,2,3,4,x,y,z,此题用高斯公式计算较方便,.,.,8,1,24,1,24,1,24,1,I,=,+,+,=,例,18,设线积分 与路径无关，其中,（,x),具,有连续的导数，且（,0)=0，,计算,:,解,此题的,P=xy,2,Q=y,（,x),由题设积分与路径无关，有,P,y,=Q,x,即,再由题设积分与路径无关，选取从点,(0,0),到,(1,1),的直线段,y=x,作为积分路径（选取折线段也可以），算得,y,H,0,x,z,R,
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