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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,2.1函数及其表示,2.1函数及其表示,1,教材研读,1.函数的基本概念,2.函数的表示法,3.映射的概念,4.映射与函数的关系,5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略,教材研读1.函数的基本概念2.函数的表示法3.映射的概念4.,考点突破,考点一 函数的定义域,考点二 求函数的解析式,考点三 分段函数,考点突破考点一 函数的定义域考点二 求函数的解析式考点三,1,.函数的基本概念,(1)函数的定义,设,A,、,B,是非空的,数集,如果按照某种确定的对应关系,f,使对于集,合,A,中的任意一个数,x,在集合,B,中都有,唯一确定,的数,f,(,x,)和它对,应,那么就称,f,:,A,B,为从集合,A,到集合,B,的一个函数,记作,y,=,f,(,x,),x,A,.,教材研读,1.函数的基本概念教材研读,4,在函数,y,=,f,(,x,),x,A,中,x,叫做自变量,x,的取值范围,A,叫做函数的定义域;与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值,函数值的集合,C,=,f,(,x,)|,x,A,叫做函数的,值域.显然,C,B,.,(3)函数的三要素:,定义域,、,值域,和,对应关系,.,(4)相等函数:如果两个函数的,定义域和对应关系,完全一致,则这,两个函数相等,这是判定两函数相等的依据.,(2)函数的定义域、值域,在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫,5,2.函数的表示法,函数的表示方法:,解析法,、,图象法,、,列表法,.,2.函数的表示法,6,3.映射的概念,设,A,、,B,是两个,非空,集合,如果按照某种对应关系,f,使对于集合,A,中的,任意,一个元素,x,在集合,B,中都有,唯一,确定的元素,y,与,之对应,那么就称对应,f,:,A,B,为从集合,A,到集合,B,的一个映射.,3.映射的概念,7,4.映射与函数的关系,由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数,是一种特,殊的,映射,要注意构成函数的两个集合,A,、,B,必须是,非空数,集,.,4.映射与函数的关系,8,5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略,(1)已知函数解析式求定义域:,构造使解析式,有意义,的不等式(组),求解.,分式的分母,不为零,;偶次方根的被开方数,非负,;零次幂的,底数,不为零,;对数的真数,大于零,底数,大于零且不等,于1,;正切函数,y,=tan,x,中,x,k,+,k,Z,.,(2)复合函数的定义域,5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略,9,已知,y,=,f,(,x,)的定义域为,a,b,求,y,=,f,(,g,(,x,)的定义域.由,a,g,(,x,),b,求,出,x,的范围,就是,y,=,f,(,g,(,x,)的定义域.,已知,y,=,f,(,g,(,x,)的定义域为,a,b,求,y,=,f,(,x,)的定义域.求出,y,=,g,(,x,),x,a,b,的值域,就是,y,=,f,(,x,)的定义域.,(3)实际问题中的函数的定义域,在实际问题中,既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题本,身对自变量的限制.,已知y=f(x)的定义域为a,b,求y=f(g(x)的,10,1,.,(教材习题改编)函数,f,(,x,)=,+,的定义域为,(,C,),A.0,2)B.(2,+,),C.0,2),(2,+,)D.(-,2),(2,+,),1.(教材习题改编)函数f(x)=+的定义域为(C,11,2.,下列四组函数中同组两个函数相等的组数为,(,B,),(1),f,(,x,)=|,x,|,g,(,t,)=,;(2),f,(,x,)=,x,2,g,(,t,)=(,),4,;(3),f,(,x,)=,x,+1,g,(,t,)=,;(4),f,(,x,)=,g,(,t,)=,.,A.0B.1,C.2D.3,2.下列四组函数中同组两个函数相等的组数为(B),12,解析,(2)中,f,(,x,)定义域为R,g,(,t,)定义域为0,+,).(3)中,f,(,x,)定义域,为R,g,(,t,)定义域为(-,1),(1,+,).(4)中,f,(,x,)定义域为(-,-1,1,+,),g,(,t,)定义域为1,+,).(1)中虽然使用的字母不同,但两个函数的对应关系,和定义域均相同.所以同组两个函数相等的组数为1.,13,3.,若函数,y,=lg(,a,2,-1),x,2,+(,a,+1),x,+1的定义域为R,则实数,a,的取值范围是,(,D,),A.(-,-1,1,B.(-,-1,C.(-,-1),D.(-,-1,3.若函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定,14,解析,由题意,知(,a,2,-1),x,2,+(,a,+1),x,+10对,x,R恒成立.当,a,2,-1=0时,可,得,a,=-1满足条件.,当,a,2,-1,0时,应满足,解得,a,.,综上,可得,a,-1,或,a,.故选D.,解析 由题意,知(a2-1)x2+(a+1)x+10,15,4.,若函数,f,(,x,)=,则,f,(9)=,2,;,f,=,0,.,解析,f,(9)=log,3,9=2,f,=log,3,=-2,f,(-2)=,f,(1)=log,3,1=0.,4.若函数f(x)=则f(9)=2;f=,16,5.,如图,动点,P,从边长为4的正方形,ABCD,的顶点,B,开始,顺次经,C,、,D,、,A,绕边界运动,用,x,表示点,P,的行程,y,表示,APB,的面积,求函数,y,=,f,(,x,)的解,析式.,5.如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次,17,解析,当点,P,在,BC,上运动,即0,x,4时,y,=,4,x,=2,x,;,当点,P,在,CD,上运动(不包含,C,点),即4,x,8时,y,=,4,4=8;,当点,P,在,DA,上运动(不包含,D,点),即8,x,12时,y,=,4,(12-,x,)=24-2,x,综上,f,(,x,)=,解析当点P在BC上运动,即0 x4时,y=4x=2x,18,函数的定义域,命题方向一求函数定义域,典例1,函数,y,=,的定义域是,-3,1,.,解析,若函数有意义,则3-2x-x20,即x2+2x-30,解得-3x1.,考点突破,函数的定义域解析若函数有意义,则3-,19,探究,本例中的函数为,y,=,若将此函数改为,y,=,f,(3-2,x,-,x,2,),并,给定,y,=,f,(,x,)的定义域为-5,0,求函数,y,=,f,(3-2,x,-,x,2,)的定义域.,解析,由题意得不等式-5,3-2,x,-,x,2,0,解得-4x-3或1x2,所以y=f(3-2x-x2)的定义域为-4,-31,2.,探究本例中的函数为y=,若将此函数改为y=f(3-2x,20,典例2,已知函数,f,(,x,)=(1-,a,2,),x,2,+(,a,-1),x,+1,的定义域为R,求实数,a,的取值,范围.,命题方向二已知函数定义域求参数,解析,由题意得,a,=1或,解得-,a,1.,典例2已知函数f(x)=(1-a2)x2+(a-1)x+,21,规律方法,(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题.在解不等式组,取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍.,(2)求抽象函数的定义域:若,y,=,f,(,x,)的定义域为(,a,b,),则解不等式,a,g,(,x,),b,即可求出,y,=,f,(,g,(,x,)的定义域;若,y,=,f,(,g,(,x,)的定义域为(,a,b,),则求出,g,(,x,)在(,a,b,)上的值域即得,y,=,f,(,x,)的定义域.,(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组)问,题,然后求解.,规律方法,22,提醒,(1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简;,(2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.,提醒(1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简;,23,1-1,已知函数,f,(,x,)的定义域为(-1,0),则函数,f,(2,x,+1)的定义域为,(,B,),A.(-1,1)B.,C.(-1,0)D.,解析,由已知得-12,x,+10,解得-1,x,-,所以函数,f,(2,x,+1)的定义域为,选B.,1-1已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2,24,1-2,若函数,f,(,x,)=,的定义域为实数集,则实数,m,的取值范围,是,0,4,.,解析,由题意可得,mx,2,+,mx,+1,0恒成立.,当,m,=0时,1,0恒成立;,当,m,0时,则,解得00),则,x,=,(,t,1),f,(,t,)=lg,(,t,1),f,(,x,)=lg,(,x,1).,(2)设,f,(,x,)=,ax,+,b,(,a,0),则3,f,(,x,+1)-2,f,(,x,-1)=3,ax,+3,a,+3,b,-2,ax,+2,a,-2,b,=,ax,+,b,+5,a,=2,x,+17,a,=2,b,=7,故,f,(,x,)=2,x,+7.,解析(1)令t=+1(x0),则x=(t1),27,方法技巧,求函数解析式的常用方法,1.凑配法:,已知,f,(,g,(,x,)=,F,(,x,),可将,F,(,x,)凑配成关于,g,(,x,)的表达式,然后以,x,替代,g,(,x,),便得,f,(,x,)的表达式.,2.待定系数法:,若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定,系数法.,方法技巧1.凑配法:已知f(g(x)=F(x),可将F(x,28,3.换元法:,已知复合函数,f,(,g,(,x,)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.,4.解方程组法:,已知关于,f,(,x,)与,f,或,f,(,x,)与,f,(-,x,)的表达式,可根据已知条件构造出另一个等式,组成方程组,通过解方程组求出,f,(,x,).,3.换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,29,同类练,已知,f,(,x,)是二次函数,f,(0)=0,且,f,(,x,+1)+,f,(2,x,)=5,x,2,-4,x,-1,求,f,(,x,)的解,析式.,解析,设,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,(,a,0),则,f,(,x,+1)+,f,(2,x,)=,a,(,x,+1),2,+,b,(,x,+1)+,a,(2,x,),2,+,b,(2,x,)=5,ax,2,+(2,a,+3,b,),x,+,a,+,b,=5,x,2,-4,x,-,1,所以,解得,所以,f,(,x,)=,x,2,-2,x,.,同类练已知f(x)是二次函数,f(0)=0,且f(x+1,30,变式练,已知函数,f,(,x,)满足:当,x,0时,有,f,x,-,=,x,3,-,求,f,(,x,)的解析式.,变式练已知函数f(x)满足:当x0时,有fx-=x,31,解析,x,3,-,=,=,+3,f,=,f,(,x,)=,x,(,x,2,+3)=,x,3,+3,x,.,又函数,y,=,x,-,的值域为R,函数,f,(,x,)的定义域为R,故,f,(,x,)的解析式为,f,(,x,)=,x,3,+3,x,(,x,R).,解析x3-=+3,32,深化练,定义在(-1,1)内的函数,f,(,x,)满足2,f,(,x,)-,f,(-,x,)=lg(,x,+1),求函数,f,(,x,)的,解析式.,解析,已知当,x,(-1,1)时,有2,f,(,x,)-,f,(-,x,)=lg(,x,+1),用-,x,替换,x,得,2,f,(-,x,)-,f,(,x,)=lg(-,x,+1).由2+可消去,f,(-,x,),可得,f,(,x,)=,lg(,x,+1)+,lg(1-,x,),x,(-1,1).,深化练定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f,33,典例4(1),已知函数,f,(,x,)=,则,f,(,f,(-2)=,函数,f,(,x,)
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