数学2-3-3.1回归分析的基本思想及其初步应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.1,回归分析的基本思想 及其初步应用,比,数学必,3,中“回归”增加的内容,必修,统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修,2-3,统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型 拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决 一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,1,、两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,问题,1,：现实生活中两个变量间的关系有哪些？,相关关系：,对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫,回归分析,。,思考：,相关关系与函数关系有怎样的不同？,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,.,相关关系是一种非确定性关系,.,函数关系是一种理想的关系模型,.,相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况,.,问题,2,：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？,2,、最小二乘估计,最小二乘估计下的线性回归方程：,例,1,从某大学中随机选出,8,名女大学生，其身高和体重数据如下表：,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为,172,的女大学生的体重。,问题一：结合例,1,得出线性回归模型及随机误差,并且区分函数模型和回归模型。,1.,散点图；,2.,回归方程：,分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量,身高为,172,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗？如果不是,其原因是什么,?,探究？,（,1,）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，,身高和体重有比较好的线性相关关系,，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,（,2,）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：,+,其中和为模型的,未知参数,，,e,是,y,与,=,bx,+a,之间的误差,通常,称为随机误差,。,其中,a,和,b,为模型的未知参数，,e,称为随机误差。,y=,bx,+a+e,，,E(e,)=0,D(e,)=,在线性回归模型,(4),中，随机误差,e,的,方差 越小,，通过回归直线,预报真实值,y,的精度越高,。随机误差是引起,预报值,与,真实值,y,之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。,另一方面，由于计算出来的 和 为截距和斜率的估计值，它们与真实值,a,和,b,之间也存在误差，这种误差是引起预报值 与真实值,y,之间误差的另一个原因。,随机误差：,线性回归模型：,思考,:,产生随机误差项,e,的原因是什么？,随机误差,e,的来源,(,可以推广到一般）：,1,、忽略了其它因素的影响：影响身高,y,的因素不只是体重,x,，,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；,2,、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；,3,、身高,y,的观测误差。,以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。,函数模型与“回归模型”的差别：,函数模型：因变量,y,完全由自变量,x,确定,回归模型：预报变量,y,完全由解释变量,x,和随机误差,e,确定,函数模型：,回归模型：,问题二：,在线性回归模型中，,e,是用,bx+a,预报真实值,y,的随机误差,，它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,称为,残差平方和,。,表,3-2,列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可以用回归模型来拟合数据,.,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断 模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为,残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时,纵坐标为残差,，,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值,等，这样作出的图形称为,残差图,。,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,；,对于远离横轴的点，要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第,6,个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，,残差点比较均匀地落在,水平的带状区域中,，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,问题三：如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？,(1),我们可以通过分析发现原始数据中的可疑数据，判断建立模型的拟合效果。,(2),残差图的制作和作用：,制作：坐标,纵轴,为残差变量,，横轴可以有不同的选择,.,横轴,为编号,(,或身高、体重等,),：可以考察残差与编号次序之间的关系,横轴,为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，,作用：判断模型的适用性若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域,.,R,2,的值越大,说明残差平方和越小,模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，,R,2,表示解析变量对预报变量变化的,贡献率。,R,2,越接近,1,，表示回归的效果越好（因为,R,2,越接近,1,，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）,。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较,R,2,的值来做出选择，即选取,R,2,较大的模型作为这组数据的模型。,相关指数,R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,我们用,相关指数,R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,例,3,在一段时间内，某中商品的价格,x,元和需求量,y,件之间的一组数据为：,求出,y,对,x,的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,价格,x,14,16,18,20,22,需求量,y,12,10,7,5,3,解：,价格,x,14,16,18,20,22,需求量,y,12,10,7,5,3,列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-,0.4,-,0.1,0.2,4.6,2.6,-,0.4,-,2.4,-,4.4,1),确定解释变量和预报变量,;,2),画出散点图,;,3),确定回归方程类型,;,4),求出回归方程,;,5),利用相关指数或残差进行分析,.,建立回归模型的基本步骤,问题四：若两个变量呈现非线性关系，如何解决？（分析例,2,）,例,2,一只红铃虫的产卵数,y,和温度,x,有关。现收集了,7,组观测数据列于表中：,温度,x,o,C,21,23,25,27,29,32,35,产卵数,y,/,个,7,11,21,24,66,115,325,（,1,）试建立产卵数,y,与温度,x,之间的回归方程；并预测温度为,28,o,C,时产卵数目。,（,2,）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,选变量,解：选取气温为解释变量,x,，产卵数为预报变量,y,。,画散点图,假设线性回归方程为,：,=,bx+a,选 模 型,分析和预测,估计参数,由计算器得：线性回归方程为,y=,19.87,x,-,463.73,相关指数,R,2,=0.7464,所以一次函数模型中温度解释了,74.64%,的产卵数变化。,0,50,100,150,200,250,300,350,0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,当,x,=28,时,y=,19.87,28,-,463.7393,方法一：一元函数模型,合作探究,y=,c,1,x,2,+,c,2,变换,y=,c,1,t+,c,2,非线性关系 线性关系,问题,选用,y=c,1,x,2,+c,2,问题,3,产卵数,气温,问题,2,如何求,c,1,、,c,2,？,t,=,x,2,方法二，二元函数模型,合作探究,平方变换：,令,t=x,2,，,产卵数,y,和温度,x,之间二次函数模型,y=bx,2,+a,就转化为产卵数,y,和温度的平方,t,之间线性回归模型,y=,bt+a,温度,t,21,23,25,27,29,32,35,t,2,441,529,625,729,841,1024,1225,产卵数,y,/,个,7,11,21,24,66,115,325,作散点图，并由计算器得：,y,和,t,之间的线性回归方程为,y=,0.367,t,-,202.54,，,相关指数,R,2,=0.802,将,t=x,2,代入线性回归方程得：,y=,0.367,x,2,-,202.54,当,x,=28,时,y,=0.367,28,2,-,202.54,85,所以，二次函数模型中温度解释了,80.2%,的产卵数变化。,t,问题,如何选取指数函数的底,?,产卵数,气温,方法三 指数函数模型,合作探究,问题,变换,y=,bx+a,非线性关系 线性关系,对数,温度,x,o,C,21,23,25,27,29,32,35,z=,lny,0.85,1.04,1.32,1.38,1.82,2.06,2.51,产卵数,y,/,个,7,11,21,24,66,115,325,x,z,当,x,=28,o,C,时，,y 44,，,所以,指数函数模型,模型中温度解释了,98%,的产卵数的变化,.,由计算器得：,z,关于,x,的线性回归方程为,z=0.272,x,-,3.849,，,相关指数,R,2,=0.98,对数变换：,在 中两边取自然对数得,令,则,就转换为,z,=,bx,+a,函数模型,相关指数,R,2,线性回归模型,0.7464,二次函数模型,0.802,指数函数模型,0.98,最好的模型是哪个,?,指数函数模型最好！,