5.5-哈密顿正则方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,5.5 哈密顿正则方程,1,5.5.1 勒让德变换,广义动量,拉氏函数,(1),(2),由(2)解得,(3),定义另外一个函数，称为,哈密顿函数,其中的 要用(3)代换。,哈密顿函数的定义式,2,5.5.1 勒让德变换,哈密顿函数的物理含义,若,L,不显含,t,则,对于,稳定,约束系统，,H,即系统,总能量,对于,不稳定,约束系统，,H,是,广义能量,3,5.5.1 勒让德变换,勒让德变换的规章,以上从 到 的变换称为勒让德变换。,规则,：,把,要消去的变量,()乘以原函数(,L,)对该变量的偏导()后，再减去原函数。,4,5.5.2 正则方程,正则方程的推导,(1),(2),(2)代入(1)可得,(3),5,5.5.2 正则方程,正则方程的推导,(3),另一方面,(4),(3)(4)比较可得哈密顿正则方程,以及,假设L不显含t,则H也不显含t.,6,5.5.2 正则方程,相空间,s,个广义坐标，和,s,个广义动量，统称为,正则变量,，它们作为相互独立的变量，张开一个2,s,维空间，称为,相空间,。,相空间的一点，代表系统可能存在的一个状态，称为,相点,。,随时间变化，相点在相空间移动，划出一条曲线，代表,系统状态的演化路径,。,7,5.5.3 能量积分与循环积分,能量积分,正则方程,若,H,不显含,t,则,H,守恒。,8,5.5.3 能量积分与循环积分,循环积分,若,H,不显含某个广义坐标,，则根据正则方程可得：,即,相应的广义动量守恒,。,注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的能量积分和循环积分，结果是一样的。,9,例题 1,5.5 哈密顿正则方程,解：以平衡位置(即弹簧原长位置)为原点，建立一维,x,轴。,动能,势能,拉氏函数,例1,试用哈密顿正则方程建立图示一维弹簧振子的运动微分方程。,平衡位置,光滑水平面,弹簧劲度系数为,k,广义动量,10,例题 1,5.5 哈密顿正则方程,哈密顿函数,正则方程,(1),(2),(1)(2)联立可得,即一维弹簧振子的运动微分方程,11,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,例 2,用哈密顿正则方程建立质点在有心力势场,中的运动微分方程.,解：采用球坐标 描述,质点的速度,拉氏函数,广义动量,(1),位矢,12,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,哈密顿量,(2),(1)代入(2)可得,(3),正则方程,(4),(5),(6),(7),(8),(9),13,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,另一方面计算可得,可见(10)代表沿,z,方向的动量矩守恒。,由(6)(9)可得,(10),但是,z,轴的方向是任意选择的,，故沿任何方向都有动量矩守恒，,从而系统动量矩守恒，即,分析：一、动量矩守恒,14,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,分析：二、平面运动,现在选择一个特殊的z轴方向：使初速度v0躺在z轴和初位矢r0所确定的平面内。,(10),则根据(10)式，可得初始时刻，以及后面任意时刻，都有,这意味着质点将始终保持在,z,轴和初位矢,r,0,所确定的平面内运动。,z,轴就是平面极坐标的极轴。,15,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,分析：三、简化正则方程,(4),(5),(6),(7),(8),(9),(4),(5),(7),(8),16,例题 2,5.5 哈密顿正则方程,分析：四、最终的运动微分方程,即在垂直于运动平面方向上的动量矩守恒。,由(5)(8)可得,(11),即径向运动微分方程,对(11)求导即得到横向运动微分方程。,由(4)(7)(11)可得,(12),17,结束,5.5 哈密顿正则方程,18,