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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,P59,习题3.1,作 业,预习P60 67.P70 78,8.9(3)(6).11(2)(6).12.13.,11/18/2024,1,P59 习题3.1 作 业,第五讲 导数与微分（一）,二、导数定义与性质,五、基本导数（微分）公式,一、引言,三、函数的微分,四、可导、可微与连续的关系,11/18/2024,2,第五讲 导数与微分（一）二、导数定义与性质五、基本导数（微分,一、引言,两个典型背景示例,例1 运动物体的瞬时速度,设汽车,沿,t,轴作直线运动,若己知其运动,规律(路程与时间的函数关系)为,求在时刻 的瞬时速度.,11/18/2024,3,一、引言两个典型背景示例例1 运动物体的瞬时速度设汽车沿,解,如果极限,存在,这个极限值就是质点的,瞬时速度.,11/18/2024,4,解 如果极限存在,这个极限值就是质点的10/5/20,例2 曲线的切线斜率问题,什麽是曲线的切线？,11/18/2024,5,例2 曲线的切线斜率问题 什麽是曲线的切线？10/5,11/18/2024,6,10/5/20236,11/18/2024,7,10/5/20237,二、导数定义与性质,1.导数定义：,11/18/2024,8,二、导数定义与性质1.导数定义：10/5/20238,注意1,导数的等价定义：,11/18/2024,9,注意1 导数的等价定义：10/5/20239,注意2 导数的意义：,物理意义,几何意义,导数是函数在一点的变化率,11/18/2024,10,注意2 导数的意义：物理意义几何意义 导数是函数在一,例:线密度问题,11/18/2024,11,例:线密度问题10/5/202311,左导数,右导数,2.单侧导数定义：,定理：,11/18/2024,12,左导数右导数2.单侧导数定义：定理：10/5/202312,3.导函数定义：,11/18/2024,13,3.导函数定义：10/5/202313,三、函数的微分,导数是从函数对自变量变化的速度来,研究;而微分则是直接研究函数的增量，,这有许多方便之处。,（一）函数的微分的定义,11/18/2024,14,三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来（一）函,11/18/2024,15,10/5/202315,四、可导、可微与连续的关系,定理1:函数可微与可导是等价的,11/18/2024,16,四、可导、可微与连续的关系定理1:函数可微与可导是等价的,证 (1),11/18/2024,17,证 (1)10/5/202317,证 (2),11/18/2024,18,证 (2)10/5/202318,定理2：,证,注意 可导必连续,连续不一定可导！,11/18/2024,19,定理2：证注意 可导必连续,连续不一定可导！1,解,11/18/2024,20,解10/5/202320,尖点,11/18/2024,21,尖点10/5/202321,解,有铅垂切线,11/18/2024,22,解有铅垂切线10/5/202322,解,振荡,不存在,！,11/18/2024,23,解振荡不存在！10/5/202323,11/18/2024,24,10/5/202324,微分的几何意义,微分三角形,11/18/2024,25,微分的几何意义微分三角形10/5/202325,11/18/2024,26,10/5/202326,五、基本导数（微分）公式,11/18/2024,27,五、基本导数（微分）公式10/5/202327,11/18/2024,28,10/5/202328,微分基本公式,11/18/2024,29,微分基本公式10/5/202329,5.利用定义求导的例子,解,11/18/2024,30,5.利用定义求导的例子解10/5/202330,解,11/18/2024,31,解10/5/202331,解,11/18/2024,32,解10/5/202332,解,11/18/2024,33,解10/5/202333,问题：如何求其他函数的导数？,基本导数公式,导数运算法则,其他基本初等函数,初等函数,四则,复合,反函数,隐函数,参数方程,对数微分法,11/18/2024,34,问题：如何求其他函数的导数？基本导数公式导数运算法则其他基本,
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