偏微分方程分类与标准型

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型,2.1,常微分方程的解,(,复习,),2.2,二阶线性偏微分方程分类,2.3,二阶线性偏微分方程简化,2.4,三类方程的简化形式,2.1,常微分方程的解,(,复习,),一,.,二阶常系数线性方程的标准形式,二,.,二阶常系数线性齐次微分方程的解,特征根：,(1),有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,齐次方程：,特征方程：,齐次方程的通解为：,特解为：,(3),有一对共轭复根时,齐次方程的通解为,特征根为：,特解为：,(2),有两个相等的实根时,小结：二阶常系数线性齐次微分方程解,特征根：,齐次方程：,特征方程：,利用了欧拉公式,例,:,求下列方程的通解,解,(1),特征方程为,所以方程的通解为,解得,所以方程的通解为,解得,(2),特征方程为,所以方程的通解为,(3),特征方程为,解得,解 特征方程为,即,特征方程有两个不相等的实数根,所以所求方程的通解为,对上式求导,得,例,:,求 满足初始条件,的特解,.,将 、代入以上二式,得,解此方程组，得,所以所求特解为,(2),对应齐次方程为：,(3)通解构造:,三,.,二阶常系数非齐次线性方程,(1),非齐次线性方程通式：,2.,二阶线性偏微分方程分类,1.,一般形式及分类判别,其中，,都是区域,上的实函数，,并假定它们是连续可微的。,2.,二阶主部为：,3.,判别式及分类：,双曲型,抛物型,椭圆型,判断下列方程的类型,思考：,3,.,方程简化,1.,线性二阶偏微分方程的一般形式,(2,个自变量,),其中，,都是区域,上的实函数，,并假定它们是连续可微的。,n,个自变量：,其中,是自变量,的函数,2.,变量替换与,方程转型,(1),变量代换：,(2),一般式转为：,系数为：,变量替换是争论偏微分方程的有效手段，适当的变换，可简化方程、易求解。,注：变量替换必需为非奇异变换,非奇异变换：雅克比,(Jacobi),行列式在点,(,x,0,y,0,),不等于零，即：,则：在点(x0,y0)四周变换是可逆的。,3.,方程简化,4.,求特解,构造一阶偏微分方程：,求一个特解 ，则：,再求另一个特解 ，则,A,22,=,0,偏微分方程转为常微分方程,5,.,特征方程与特征曲线,1.,特征方程：,2.,解：,3.,特征曲线：,例 推断偏微分方程类型并化简：,解：,特征方程,特征方程的解：,特征线：,令：,双曲型方程,例,2.1.3,设常数,A,B,C,满足,m,1,、,m,2,是如下方程的两个根,的通解为：,证明二阶线性偏微分方程,证明：设,则：,4,三类方程的简化形式,当,时，给出一族实的特征曲线,取,则,方程变为,若再作,则上述方程变为：,1.,双曲方程型方程：,当,时，只有一个解,它只能给出一个实的特征线，,。取与,函数无关的,作为另一个新的变量,则有：,2.,抛物型方程：,当,时，给出一族复特征线,在该变换下：,且方程化为：,令,则有：,3.,椭圆型方程：,小结：三种方程的标准型式：,例题,1,：分类并标准化方程：,解：该方程的,故该方程是抛物型的。,特征方程：,从而得到方程的一族特征线为：,自变量代换,(由于和必需函数无关,所以宜取最简洁的函数形式,即=x 或=y),原方程化简后的标准形式为：,特征的解：,例2.推断偏微分方程类型并化简：,解：,故,故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程,故有,或,取新变量,则,或,解为,例,2(,续,),，,代入原方程得：,即：,例3.推断偏微分方程的类型并化简：,解：,特征方程,特征方程的解：,特征线：,令：,双曲型方程,其次章：复习思考题与作业,一写出二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程与特,征根。,二.简述二阶常系数线性齐次微分方程的求解步骤。,三.写出二阶线性偏微分方程的区分式及其分类原则。,四.解释何谓自变量非奇异变换。,五.简述二阶线性偏微分方程简化的根本步骤。,六.书习题2：112；223；7,七.课堂练习：P41:21,