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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,北京科技大学信息工程学院自动化系,*,第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱,13-1 非正弦周期信号,13-2 非正弦周期函数分解为,Fourier,级数,13-3 有效值、平均值和平均功率,13-4 非正弦周期电流电路的计算,*,13-5 对称三相电路中的高次谐波,*,13-6,Fourier级数的指数形式,*,13-7,Fourier积分简介,11/18/2024,1,北京科技大学信息工程学院自动化系,第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱13-1 非正弦周,13-1 非正弦周期信号,1.,定义,2.特点,(1)不是正弦波；,(2)按周期规律变化,不按正弦规律变化的周期信号称为非正弦周期信号。,其中，,T,为周期函数,f,(,t,)的周期，,k,=1,2,。,11/18/2024,2,北京科技大学信息工程学院自动化系,13-1 非正弦周期信号1.定义2.特点(1)不是正,例1：半波整流电路的输出信号。,3.举例,11/18/2024,3,北京科技大学信息工程学院自动化系,例1：半波整流电路的输出信号。3.举例8/5/20233北京,例2：数字电路中的脉冲信号。,11/18/2024,4,北京科技大学信息工程学院自动化系,例2：数字电路中的脉冲信号。8/5/20234北京科技大学信,13-2 非正弦周期函数分解为,Fourier,级数,1.,Fourier,级数,任何满足,狄里赫利（,Dirichlet,）条件,的函数,f,(,t,),，都可以展开成频率为 （，,T,是,f,(,t,),的周期）整数倍的一系列正弦量的叠加，即,上式中的系数可按下列公式计算：,11/18/2024,5,北京科技大学信息工程学院自动化系,13-2 非正弦周期函数分解为Fourier级数1.Fou,这种将一个周期函数展开（或分解）为一系列谐波之和（即,Fourier,级数）的方法称为,谐波分析,。,11/18/2024,6,北京科技大学信息工程学院自动化系,这种将一个周期函数展开（或分解）为一系列谐波,不难得出上述两种形式系数之间有如下关系：,还可合并成另一种形式：,11/18/2024,7,北京科技大学信息工程学院自动化系,不难得出上述两种形式系数之间有如下关系：,（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；,（2）在一个周期内只有有限个极值点;,当,x,是,f,(,x,)的连续点时，级数收敛于,f,(,x,)；,当,x,是,f,(,x,)的间断点时，级数收敛于,Dirichlet,条件：设,f,(,x,),是周期为,T,的周期函数，如果它满足：,则,f,(,x,)的Fourier级数收敛，并且有：,（3）在一个周期内绝对可积，即,返回,11/18/2024,8,北京科技大学信息工程学院自动化系,（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,2.,利用函数的对称性确定,Fourier,级数的系数,（,2,）偶函数,T/2,t,T/2,f,(,t,),（,3,）奇谐波函数,t,f,(,t,),T/2,T,T/2,t,T/2,f,(,t,),（,1,）奇函数,11/18/2024,9,北京科技大学信息工程学院自动化系,2.利用函数的对称性确定Fourier级数的系数（2）偶函,例：试判断下图所示波形展开式的特点。,f,(,t,)是奇函数，故展开式中只含有正弦分量。,f,(,t,),=,解,:,又由于,f,(,t,),是奇谐波函数，所以展开式中只含有奇次谐波分量。,综上所述，,f,(,t,),的展开式应具有以下形式：,f,(,t,),0,t,T,11/18/2024,10,北京科技大学信息工程学院自动化系,例：试判断下图所示波形展开式的特点。f(t)是奇函数，故展开,3.频谱,为了表示一个周期函数分解为,Fourier,级数后包含哪些频率分量以及各分量所占,“,比重,”,，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率高低顺序把它们依次排列起来，可以得到如下图形，这种图形称为,f,(,t,),的频谱（图）。由于这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称之为幅度频谱。,由于各频谱的角频率是 的整数倍，所以这种频谱是离散的，有时又称为线频谱。,11/18/2024,11,北京科技大学信息工程学院自动化系,3.频谱 为了表示一个周期函数分解为Four,例：试将如下周期性方波信号分解为Fourier级数并画出其频谱图。,图示方波电流在一个周期内的表达式为：,4.举例,t,T,/2,T,11/18/2024,12,北京科技大学信息工程学院自动化系,例：试将如下周期性方波信号分解为Fourier级数并画出其频,直流分量：,谐波分量：,解：,k,为奇数,k,为偶数,11/18/2024,13,北京科技大学信息工程学院自动化系,直流分量：谐波分量：解：k为奇数k为偶数8/5/2023,的展开式为：,的频谱图为：,（,k,为奇数）,由于,11/18/2024,14,北京科技大学信息工程学院自动化系,的展开式为：的频谱图为：（k为奇数）由于8/5/2023,基波,直流分量,三次谐波,五次谐波,七次谐波,周期性方波波形分解示意图：,11/18/2024,15,北京科技大学信息工程学院自动化系,基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解示意图,基波,直流分量,直流分量+基波,直流分量+基波+三次谐波,三次谐波,11/18/2024,16,北京科技大学信息工程学院自动化系,基波直流分量直流分量+基波直流分量+基波+三次谐波三次谐波8,t,T,/2,T,I,S,0,I,S,0,等效电源,11/18/2024,17,北京科技大学信息工程学院自动化系,tT/2TIS0IS0等效电源8/5/202317北京科技大,5.说明,(1),Fourier,级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分解为,Fourier,级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地代表原有函数；但如果级数收敛很快，只取级数的前面几项也就够了，一般,5,次以上谐波可以略去；,(2)教材P322表13-1给出了几个典型周期函数的Fourier级数展开式。从式中可以看出，函数的波形越光滑和越接近于正弦波，其展开级数收敛得越快。,11/18/2024,18,北京科技大学信息工程学院自动化系,5.说明 (1)Fourier级数是一个无穷,13-3 有效值、平均值和平均功率,1.非正弦周期函数的有效值,若,则其有效值:,上式中,i,的展开式平方并积分后将含有下列各项,11/18/2024,19,北京科技大学信息工程学院自动化系,13-3 有效值、平均值和平均功率1.非正弦周期函数的有,周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。,这样可以求得,i,的有效值为,11/18/2024,20,北京科技大学信息工程学院自动化系,周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和,2.非正弦周期函数的平均值,则其平均值为：,若,即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。,按上式可求得正弦电流 的平均值为,11/18/2024,21,北京科技大学信息工程学院自动化系,2.非正弦周期函数的平均值则其平均值为：若即非正弦周期电,上式相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变成了对应的正值。,11/18/2024,22,北京科技大学信息工程学院自动化系,上式相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是,例：计算下图所示矩形波信号的有效值和平均值。,解：有效值为,=,=5A,平均值为,=2.5A,O,t,i,(A),T,/4,T,10,11/18/2024,23,北京科技大学信息工程学院自动化系,例：计算下图所示矩形波信号的有效值和平均值。解：有效值为=,3.非正弦周期电流电路的平均功率,利用三角函数的正交性，得：,平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率,11/18/2024,24,北京科技大学信息工程学院自动化系,3.非正弦周期电流电路的平均功率利用三角函数的正交性，得,例：已知一端口的电压和电流，求电压和电流的有效值和一端口的平均功率。,解：电压的有效值,U,=,电流的有效值,11/18/2024,25,北京科技大学信息工程学院自动化系,例：已知一端口的电压和电流，求电压和电流的有效值和一端口的平,平均功率,P,=,102+203+304+405,P,=,102+203cos60,+304cos(-41,),+405cos30,11/18/2024,26,北京科技大学信息工程学院自动化系,平均功率P=102+203+304+40,13-4 非正弦周期电流电路,的计算,1.计算步骤,（3）利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用,相量法,进行计算，并把计算结果转换为时域形式（注意：对应于各交流谐波分量的,X,L,、,X,C,有所,不同）；,（1）利用,Fourier,级数，将非正弦周期函数展开成直流分量和多种频率谐波信号的和；,（4）应用叠加原理，求出所需的电路响应。,（2）应用直流电路的分析方法，计算在直流分量激励下系统的响应；,11/18/2024,27,北京科技大学信息工程学院自动化系,13-4 非正弦周期电流电路的计算1.计算步骤（3,2.举例,R,L,C,t,T,/2,T,例1：已知,i,S,为方波信号，；，,，求图中所示电压,u,。,11/18/2024,28,北京科技大学信息工程学院自动化系,2.举例RLCtT/2T例1：已知iS为方波信号，,解：,（1）已知方波信号的展开式为：,代入已知数据：,得直流分量,11/18/2024,29,北京科技大学信息工程学院自动化系,解：（1）已知方波信号的展开式为：代入已知数据：得直流分量8,基波最大值,五次谐波最大值,角频率,三次谐波最大值,电流源,各频率的谐波分量为：,11/18/2024,30,北京科技大学信息工程学院自动化系,基波最大值五次谐波最大值角频率三次谐波最大值 电流源各频率的,（2）对直流分量和,各种频率的谐波分量单独进行计算,R,I,S,0,U,0,由于电容断路，电感短路，所以有,直流分量,I,S,0,作用,11/18/2024,31,北京科技大学信息工程学院自动化系,（2）对直流分量和各种频率的谐波分量单独进行计算RIS0U,基波作用,R,L,C,由于,X,L,1,R,11/18/2024,32,北京科技大学信息工程学院自动化系,基波作用RLC由于 XL1R8/5/202332北京科,三次谐波作用,11/18/2024,33,北京科技大学信息工程学院自动化系,三次谐波作用8/5/202333北京科技大学信息工程学院自,五次谐波作用,11/18/2024,34,北京科技大学信息工程学院自动化系,五次谐波作用8/5/202334北京科技大学信息工程学院自,(3)将直流响应和各,谐波分量计算结果瞬时值进行叠加,11/18/2024,35,北京科技大学信息工程学院自动化系,(3)将直流响应和各谐波分量计算结果瞬时值进行叠加8/5/,注意,：,（1）,该方法仅适用于线性电路；,（2）把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没有意义的。,V,1,L,1,C,1,C,2,L,2,40mH,10mH,u,+,_,25,F,25,F,30,a,b,c,d,A,3,A,2,V,2,V,1,A,1,例2：已知,求图示电路中各表读数（有效值）。,11/18/2024,36,北京科技大学信息工程学院自动化系,注意：（1）该方法仅适用于线性电路；（,解：,(1),U,0,=30V作用于电路时，,L,1,、,L,2,短路，,C,1,、,C,2,开路。,I,C,10,=0,I,0,=,I,L,20,=,U,0,/,R,=30/30=1A,U,ad,0,=,U,cb,0,=,U,0,=30V,L,1,C,1,C,2,L,2,40mH,10mH,u,+,_,25,F,25,F,30,a,b,c,d,i,i,C,1,i,L,2,
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