大一高数--微分课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,*,三、微分运算法则,四、微分在近似计算中的应用,二、微分的几何意义,第七节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,1,ppt课件,三、微分运算法则四、微分在近似计算中的应用二、微分的几何意义,一、微分的概念,引例,:,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少,?,设薄片边长为,x,面积为,A,则,面积的增量为,关于,x,的,线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,ppt课件,一、微分的概念 引例:一块正方形金属薄片受温度变化,的,微分,定义,:,若函数,在点 的增量可表示为,(,A,为不依赖于,x,的常数,),则称函数,而 称为,记作,即,定理,:,函数,在点 可微的,充要条件,是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,ppt课件,的微分,定义:若函数在点 的增量可表示为(A,说明,:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,(4),当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,ppt课件,说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,(4,定理,:,函数,证,:,“,必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,ppt课件,定理:函数证:“必要性”已知在点 可微,则,定理,:,函数,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,“,充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,ppt课件,定理:函数在点 可微的充要条件是在点 处,二、微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作,微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,ppt课件,二、微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微,例如,求,基本初等函数的微分公式,(,见,P136,表,),又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,ppt课件,例如,求基本初等函数的微分公式(见 P136表)又如,机,三、微分运算法则,设,u,(,x,),v,(,x,),均可微,则,(,C,为常数,),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.,复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,ppt课件,三、微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,例,1.,求,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,ppt课件,例1.求 解:机动 目录 上页 下页 返回,例,2.,设,求,解,:,利用一阶微分形式不变性,有,例,3.,在下列括号中填入适当的函数使等式成立,:,说明,:,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容,.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意,:,数学中的反问题往往出现多值性,.,11,ppt课件,例2.设求 解:利用一阶微分形式不变性,有例3.,数学中的反问题往往出现多值性,例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,12,ppt课件,数学中的反问题往往出现多值性,例如注意 目录 上,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则,:,得近似等式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,ppt课件,四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:,例,4.,有一批半径为,1cm,的球,为了提高球面的光洁度,解,:,已知球体体积为,镀铜体积为,V,在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克,.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为,0.01cm,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,ppt课件,例4.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,的近似值,.,解,:,设,取,则,例,5.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,ppt课件,的近似值.解:设取则例5.求机动 目录 上,特别当,很小时,常用近似公式,:,很小,),证明,:,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,ppt课件,特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得机动 目录,的近似值,.,解,:,例,6.,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,ppt课件,的近似值.解:例6.计算机动 目录 上页,内容小结,1.,微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.,微分运算法则,微分形式不变性,:,(,u,是自变量或中间变量,),3.,微分的应用,近似计算,估计误差,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,ppt课件,内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.,思考题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,ppt课件,思考题机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答,说法不对,.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,ppt课件,思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函,导数与微分的区别,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,ppt课件,导数与微分的区别:机动 目录 上页 下页,练习,1.,设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,ppt课件,练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,ppt课件,2.机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P142 1-10,复习题 一、,1,，,2,；二、,1 6,；,8,24,ppt课件,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 作业,