差分格式的定性分析

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,9.,差分格式的定性分析,差分算法的差分性质,精度,：差分方程对源方程的逼近误差,相容性,：时空步长趋于,0,时，差分方程的极限为源方程,精度、相容性、稳定性、收敛性、耗散性、色散性、和守恒性,等,1,稳定性,：,任何初值扰动对差分数值解的影响随时间推移,不再增加（强稳定）或在一段时间内有界（弱稳定）,收敛性,：,当步长趋于,0,，差分数值解收敛于源问题的真解,Lax,等价定理：,对一个适定的初值问题，在满足相容条件的,前提下，稳定性是收敛性的充要条件。,耗散性,：,差分余项对解产生的耗散效应,色散性,：,差分余项对解产生的色散效应,守恒性,：,数值解保持真解所固有的守恒性的程度,2,定性分析方法,(1),1,Taylor,展开法,(,与求修正方程一样）,c0,迎风格式,3,精度：,满足相容条件：,若,c0,迎风格式,代入源方程,代入差分方程,其中,5,当,(,长波,),，则有,其中,可见，差分解的幅度增长因子为,相应的增长率为 稳定条件,6,解析解与差分解的辐角差为,由于,E,p,与,k,有关,故产生色散效应,E,p,0,称为正色散,差分解超前真实解；,E,p,0,k,称为负色散,差分解滞后于真实解,r=,1,或,1/2,时无色散,通常只关心稳定条件本身，则直接用下述方法,：,代入差分方程，解出放大因子,稳定性条件是放大因子的模小于等于,1,。,7,10.,人为耗散和通量改正,即使满足稳定性条件，当计算进行到一定时间步数时，仍出现不稳定，此源于非线性效应。即使格式自身存在的数值耗散（或叫隐耗散）,在激波区一般不足以克服波头振荡等计算不稳定现象。故需要在格式中人为加入耗散项。,数值耗散在非激波区会带来过分的平滑，以致于模糊物理量分布，通量改正是为了尽量减小格式的平滑作用，提高精度。,8,人为耗散方法,在格式中人为加入耗散项。,目标,所有物理量能平滑地通过激波区,在激波区两侧满足,Rankine,-,Hugoniot,关系,激波传播速度不失真，且与跃变条件相容,激波过渡区的厚度越小越好，且与激波强度无关,在激波区外不产生或有很弱的人为耗散,对,一维问题，,Neumann-,Richtmyer,人为耗散法应用较广泛，对多维问题，,Lapidus,人为耗散法效果较好,。,9,1,Neumann-,Richtmyer,人为耗散法,(1950,，,JAP,21,232),在,动量方程中加入人为粘性压力项 ，其人为粘性系数比例于速度梯度,（若,激波在,x,向传播）,式中,为密度，,u,为速度，,b,为可调参数，一般取,b=1.5-2,最后激波区的厚度大致为,即,4,5,个格距,10,2,Lapidus,人为耗散法,(1967,JCP,2,154),对各,分量方程同时加入人为耗散项,可由分裂格式差分求解,个别量的方程不该加人为耗散，如磁通量函数,11,通量改正法,强,耗散格式（或引入人为耗散）过分平滑,弱耗散格式 激波波头的振荡,为,兼顾稳定性和精度，有各种办法，其中广泛应用的是,1973,JCP,11,38;1975,JCP,18,248;1976,JCP,20,397;1979,JCP,31,335,通量改正法（,Flux-Corrected Transport,）,正耗散：,从守恒型方程出发，采用强耗散格式，保证无振荡,逆耗散：,对差分解在非激波区进行逆耗散，以抵消差分解的耗散误差,12,方程及其差分格式,它描述通量,F,的盈亏,导致,U,改变的输运过程,第一步：用低阶格式,(,强耗散，如迎风格式或,Lax,格式,),计算通量,第二步：用逆耗散通量 消除耗散,13,x,U,强,耗散格式,弱耗散格式,过度的改正将出现波头振荡，故须对逆耗散通量 加以限制,14,第二步变为,的,选取满足,涉及,两步,首先确定,然后确定,15,方案,3,x,U,d,方案,1,当,精确解存在峰或谷时，此法有明显的削波现象,方案,2,此法,提高 减小 ，,从而降低削波效应,16,如何改正,A,恒等式,i,点流入量,i,点流出量,均非负数,均非负数,17,我们可将上式改为充分条件：；,但,实际上此条件可能得不到满足，因此我们引入限制流量因子,使得流入量和流出量修正为 和,它肯定满足,18,考虑极端情况，时 取最大值,相应的修正流入量为,时 取最大值,相应的修正流入量,另一方面，由通量限制因子得到的最大流入量和流出量分别为,当,当,我们要求由此式给出的最大流入（出）量分别小于最大修正流入（出）量,19,的最大取值为,的最大取值为上式中,i,改为,i,-1,当,当,20,通量改正方法,之小结,选择一种高耗散格式，由,U,n,算,U,d,由第,16,页的某个方案选取,U,min,和,U,max,，这样的话,Q,+,=U,max,-U,d,Q-=U,d,-U,min,由第,17,页公式算出,P,+,和,P,-,后由第,18,页公式算,R,+,和,R,-,将,R,+,和,R,-,代入第,20,页公式算出,C,i+1/2,和,C,i-1/2,将,C,i+1/2,和,C,i-1/2,代入第,15,页公式即可算出,U,n+1,其中的,F,H,为由任一弱耗散格式计算出来的通量。,21,作业,在第三讲作业,1,中加入,Neumann-,Richtmyer,人为耗散项并,采用蛙跳或,Lax-,Wendroff,格式进行模拟，调一调,b,，,将结果与无人为耗散项的模拟比较。,22,