环量和旋度课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 矢量分析,1.4,矢量场的,环量和旋度,1,第一章 矢量分析1.4 矢量场的环量和旋度1,主要内容,环量,旋度,斯托克斯定理,学习目的,掌握环量、旋度的物理意义,了解环量、旋度的关系,灵活运用斯托克斯定理求解矢量场,2,主要内容环量学习目的掌握环量、旋度的物理意义2,（,a,）,M,1.4.1,矢量场的环量（环流）,定义：,矢量场,A,沿空间有向闭合曲线,l,的积分称为矢量场,A,的,环量,。,表达式：,由图,(a),可见，,环量取决于曲线,l,的绕行方向。,（,2,）若 ，表示该矢量场为,无旋场或保守场,；,若 ，表示该矢量场为,涡旋场,。,物理意义：,（,1,）环量用来描述产生该矢量场的,旋涡源,。,（,a,）,旋涡源位于闭合曲线,l,包围形成的曲面内。,M,3,（a）M1.4.1 矢量场的环量（环流）定义：表达式：由图(,1.4.2,矢量场的旋度,如图,(b),过点,P,作一微小曲面,S,，它的边界曲线记为,l,。,则此极限称为,矢量场,A,在,P,点沿,n,方向的,环量（面）密度或环量强度,。该极限值与,S,的形状无关，但与,S,的方向,n,有关,。,(b),1.,环量密度,若当,S,收缩至,P,点附近,时存在极限,4,1.4.2 矢量场的旋度 如图(b)过点P 作一微,2.,旋度,定义：,矢量场,A,在某给定点的旋度用,rot,A,表示为,大小：最大的环量密度；,方向：取得最大环量密度时的面元方向。,旋度的物理意义：,矢量的旋度是描述矢量场,A,在各点处的,旋涡源强度,。,5,2.旋度定义：大小：最大的环量密度；旋度的物理意义：,在直角坐标系下,表达式：,旋度与环量密度的关系为,计算环量面密度的方法,6,在直角坐标系下表达式：旋度与环量密度的关系为计算环量面密度的,旋度和散度的区别：,（,1,）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。,（,2,）旋度描述场中各点的,旋涡源强度,；,散度描述场中各点的,通量源强度,。,（,3,）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化,规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。,旋度的运算规则：,7,旋度和散度的区别：（1）矢量场的旋度是矢量，,1.4.3,斯托克斯定理,表达式：,式中,S,为闭合曲线,l,所包围的曲面。,物理含义：,矢量,A,沿任意闭合曲线,l,的环量等于以,l,为边界的曲面,S,上旋度的面积分。,8,1.4.3 斯托克斯定理表达式：式中S为闭合曲线l所包围的曲,(c),斯托克斯定理的证明：,对于有限大,面,积,S,，,可将其按如图,(c),方式进行分割，对每一小面积元有,9,(c)斯托克斯定理的证明：,【,例,1-11】,求矢量 （,c,是常量）沿曲线,的环量。,【,解,】,：,曲线,l,是以（,2,，,0,）为圆心，,R,为 半径的圆，故线元,环量,10,【例1-11】求矢量,方法二：,由斯托克斯定理得,11,方法二：由斯托克斯定理得11,【,例,】,用以下两种方法求矢量场,在点 处沿方向 的环量面密度。,直接应用环量面密度的计算公式；,作为旋度在该方向的投影。,【,解,】,：,12,【例】用以下两种方法求矢量场12,矢量 的方向余弦为,矢量场为,由环量面密度公式,将点 代入上式：,13,矢量 的方向余弦为13,在点 处旋度为,方向的单位矢量,在点 处沿 方向的环量面密度为：,14,在点 处旋度为14,内容小结,主要概念：,主要定理：,斯托克斯定理,旋涡源,环量,旋度,若环量（旋度）等,于零，该矢量场为,无旋场或保守场,15,内容小结 主要概念：旋涡源环量旋度若环量（旋度）等15,主要公式,环量,旋度,环量面密度,斯托克斯定理,16,主要公式16,作业：,P21 1-18,17,作业：P21 1-1817,